수학시간

고등학교 확률과 통계 · 통계적 추정

표본으로 모집단을 추정하기

전체를 모두 조사하기 어려울 때 임의로 뽑은 표본의 정보를 이용하여 모집단의 평균이나 비율을 어느 범위에서 믿을 수 있는지 판단합니다.

모집단과 표본
표본평균의 분포
모평균의 추정
모비율의 추정

1 모집단과 표본

조사하려는 대상 전체에서 일부를 임의추출하고, 표본에서 계산한 값을 이용하여 모집단의 특성을 추정합니다.

모집단

조사하려는 대상 전체입니다.

표본

모집단에서 조사 대상으로 뽑은 일부입니다.

모수

모평균 \(m\), 모비율 \(p\)처럼 모집단의 특성을 나타내는 수입니다.

통계량

표본평균 \(\bar X\), 표본비율 \(\hat p\)처럼 표본에서 계산한 수입니다.

대표성 있는 표본이 먼저입니다. 표본의 크기가 크더라도 특정 집단에 치우쳐 뽑히면 모집단을 올바르게 나타내기 어렵습니다. 모집단의 각 대상이 뽑힐 가능성을 고려한 임의추출이 필요합니다.

2 표본평균의 분포

같은 크기의 표본을 여러 번 임의추출하면 표본평균은 매번 달라집니다. 이 표본평균들의 분포를 알면 표본평균이 모평균에서 얼마나 달라질 수 있는지 판단할 수 있습니다.

표본평균의 평균과 분산
\(E(\bar X)=m\)
\(\displaystyle V(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}\)
표본평균의 표준편차
\(\displaystyle \sigma(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}\)

이를 표본평균의 표준오차라고도 합니다.

표본의 크기가 커지면 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)이 작아지므로 표본평균은 모평균 \(m\) 근처에 더 모입니다. 모집단이 정규분포를 따르면 \(\bar X\)도 정규분포를 따르며, 모집단이 정규분포가 아니어도 \(n\)이 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워집니다.

시뮬레이션 · 표본의 크기와 표본평균의 분포

평균 \(50\), 표준편차 \(15\)인 정규모집단에서 표본을 반복하여 뽑습니다. 표본의 크기를 바꾸고 표본평균의 퍼짐을 비교해 보세요.

관찰 결과

누적 추출: 0회

표본평균들의 평균: —

이론적 표준오차: 4.743

3 모평균의 추정

표본평균 \(\bar x\) 하나를 모평균 \(m\)의 추정값으로 사용하는 것을 점추정이라고 합니다. 실제 조사에서는 추정값과 함께 오차의 범위를 나타내는 신뢰구간을 제시합니다.

신뢰도 \(95\%\)
\(\displaystyle \bar x-1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}\leq m\)
\(\displaystyle m\leq\bar x+1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}\)
신뢰도 \(99\%\)
\(\displaystyle \bar x-2.58\frac{\sigma}{\sqrt n}\leq m\)
\(\displaystyle m\leq\bar x+2.58\frac{\sigma}{\sqrt n}\)
공식의 적용 모집단이 정규분포를 따르고 모표준편차 \(\sigma\)를 알고 있는 경우에 적용합니다. 표본의 크기가 충분히 큰 경우에는 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워지는 성질을 이용할 수 있습니다.

예제 · 부품의 사용 시간

부품 \(100\)개를 임의추출하여 사용 시간을 조사했더니 표본평균이 \(1000\)시간이었다. 모표준편차가 \(50\)시간일 때 모평균 \(m\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간을 구해 봅시다.

  1. \(\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{50}{\sqrt{100}}=5\)
  2. 오차의 한계는 \(1.96\times5=9.8\)입니다.
  3. 하한은 \(1000-9.8=990.2\), 상한은 \(1000+9.8=1009.8\)입니다.
\(990.2\leq m\leq1009.8\) (시간)

4 신뢰구간의 의미

같은 방법으로 표본을 계속 뽑아 신뢰구간을 만들면 구간은 표본마다 달라집니다. 신뢰도는 이런 구간들이 모평균을 포함하는 장기적인 비율을 나타냅니다.

시뮬레이션 · 신뢰구간의 포함 비율

모평균 \(50\), 모표준편차 \(10\)인 정규모집단에서 표본을 뽑아 신뢰구간을 만듭니다. 표본의 크기와 신뢰도를 바꾸어 포함 비율과 구간의 길이를 비교해 보세요.

모평균 포함 모평균 미포함 모평균 \(50\)
누적 결과

0개 중 0개 포함

포함 비율: —

오차의 한계: 4.383

신뢰도 \(95\%\)를 해석할 때 같은 방법으로 신뢰구간을 매우 많이 만들면 그중 약 \(95\%\)가 모평균을 포함한다는 뜻입니다. 하나의 표본으로 구간을 계산한 뒤에는 그 구간이 고정된 모평균을 포함하거나 포함하지 않습니다.

5 모비율의 추정

어떤 특성을 가진 대상의 비율을 추정할 때는 표본비율 \(\hat p\)을 이용합니다. 표본의 크기가 충분히 크면 표본비율의 분포를 정규분포로 가까이 나타낼 수 있습니다.

모비율 \(p\)의 신뢰구간
\(\displaystyle \hat p-k\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\leq p\)
\(\displaystyle p\leq\hat p+k\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\)

신뢰도 \(95\%\)이면 \(k=1.96\), 신뢰도 \(99\%\)이면 \(k=2.58\)을 사용합니다.

  • \(n\hat p\)와 \(n(1-\hat p)\)가 모두 충분히 큰지 확인합니다.
  • 표본이 모집단을 대표하도록 임의추출되었는지 확인합니다.
  • 신뢰구간을 모집단의 모든 대상이 들어 있는 범위로 해석하지 않습니다.

예제 · 급식 만족도 조사

전체 학생 중 \(400\)명을 임의추출하여 조사했더니 \(320\)명이 만족한다고 답했다. 전체 학생의 만족 비율 \(p\)를 신뢰도 \(95\%\)로 추정해 봅시다.

  1. \(\displaystyle \hat p=\frac{320}{400}=0.8\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}}=0.02\)
  3. 오차의 한계는 \(1.96\times0.02=0.0392\)입니다.
\(0.7608\leq p\leq0.8392\), 즉 약 \(76.1\%\) 이상 \(83.9\%\) 이하입니다.

6 스스로 확인하기

문제 1

모표준편차가 \(12\)인 모집단에서 크기가 \(36\)인 표본을 뽑을 때 표본평균의 표준편차를 구해 보세요.

문제 2

\(\bar x=80\), \(\sigma=10\), \(n=100\)일 때 모평균의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간을 구해 보세요.

문제 3

신뢰도 \(95\%\)의 의미를 반복 표집의 관점에서 설명해 보세요.