수학시간
고등학교 확률과 통계 · 확률분포

확률변수와 확률분포

우연한 결과를 수로 나타내고, 그 값과 확률이 만드는 분포를 살펴봅니다. 이항분포와 정규분포의 모양, 평균과 표준편차의 의미를 시뮬레이션으로 확인합니다.

확률변수
평균과 분산
이항분포
정규분포와 표준화

1 확률변수와 확률분포

표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시키는 함수를 확률변수라고 합니다. 확률변수가 가질 수 있는 값과 각 값에 대응하는 확률을 함께 나타낸 것이 확률분포입니다.

이산확률변수

가질 수 있는 값을 하나씩 셀 수 있는 확률변수입니다. 예를 들어 동전 두 개를 던졌을 때 앞면의 수가 있습니다.

연속확률변수

어떤 구간 안의 모든 실숫값을 가질 수 있는 확률변수입니다. 예를 들어 부품의 길이나 작업 시간이 있습니다.

예제 · 동전 두 개의 앞면 수

동전 두 개를 동시에 던질 때 앞면의 수를 \(X\)라고 하면 다음과 같은 확률분포를 얻습니다.

\(x\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(P(X=x)\)\(\frac14\)\(\frac12\)\(\frac14\)
\(\displaystyle \frac14+\frac12+\frac14=1\)

2 이산확률변수의 평균과 분산

확률을 가중치로 사용하여 확률변수의 중심과 퍼진 정도를 나타낼 수 있습니다.

평균 또는 기댓값
\(\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i p_i\)

값 \(x_i\)에 그 값이 나올 확률 \(p_i\)를 곱하여 모두 더합니다.

분산과 표준편차
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)

앞면 수 \(X\)의 평균과 분산

  1. \(\displaystyle E(X)=0\times\frac14+1\times\frac12+2\times\frac14=1\)
  2. \(\displaystyle E(X^2)=0^2\times\frac14+1^2\times\frac12+2^2\times\frac14=\frac32\)
  3. \(\displaystyle V(X)=\frac32-1^2=\frac12\)
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\)

3 이항분포

성공 확률이 \(p\)인 독립시행을 \(n\)번 반복할 때 성공 횟수 \(X\)가 따르는 분포를 이항분포라고 하며 \(X\sim\mathrm{B}(n,p)\)로 나타냅니다.

확률질량함수
\(P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)

\(r=0,1,2,\ldots,n\)입니다.

평균·분산·표준편차
\(E(X)=np\)
\(V(X)=np(1-p)\)
\(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

시뮬레이션 · 이항분포의 모양

분포의 요약

예제 · 독립적인 부품 검사

각 부품이 검사를 통과할 확률이 \(0.8\)이고 결과가 서로 독립일 때, 부품 \(100\)개 중 통과한 개수 \(X\)는 \(\mathrm{B}(100,0.8)\)을 따릅니다.

\(E(X)=80,\quad V(X)=16,\quad \sigma(X)=4\)

4 정규분포와 표준화

평균 \(m\)을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 연속확률분포를 정규분포라고 하며 \(X\sim\mathrm{N}(m,\sigma^2)\)로 나타냅니다.

정규분포 곡선의 성질

  1. 직선 \(x=m\)에 대하여 좌우 대칭입니다.
  2. 곡선과 \(x\)축 사이의 전체 넓이는 \(1\)입니다.
  3. \(\sigma\)가 클수록 곡선은 더 넓게 퍼지고 낮아집니다.
표준화
\(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)

\(Z\)는 평균이 \(0\), 표준편차가 \(1\)인 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0,1)\)을 따릅니다.

연속확률변수의 확률 \(P(a\leq X\leq b)\)는 정규분포 곡선과 \(x\)축, 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 넓이입니다. 한 점에서의 확률은 \(P(X=a)=0\)입니다.

5 정규분포의 확률 계산

평균, 표준편차와 구간을 바꾸면 정규분포 곡선 아래에서 선택된 넓이와 확률이 함께 변합니다.

시뮬레이션 · 정규분포 확률 계산기

구간 확률

예제 · 부품 길이

부품 길이 \(X\)가 평균 \(50\mathrm{\,mm}\), 표준편차 \(2\mathrm{\,mm}\)인 정규분포를 따를 때 \(48\mathrm{\,mm}\) 이상 \(54\mathrm{\,mm}\) 이하일 확률을 구해 봅시다.

  1. \(X=48\)이면 \(Z=-1\)이고, \(X=54\)이면 \(Z=2\)입니다.
  2. \(P(-1\leq Z\leq2)=P(0\leq Z\leq1)+P(0\leq Z\leq2)\)입니다.
\(P(-1\leq Z\leq2)\approx0.8186\)

6 심화 탐구 · 변환 표준점수

심화 탐구

\(Z\)점수는 원점수가 평균에서 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다. 음수와 소수를 줄이기 위해 \(Z\)를 일차식으로 변환한 점수를 사용할 수 있습니다.

평균 \(50\), 표준편차 \(10\)으로 변환
\(T=10Z+50\)

\(Z=0\)이면 \(T=50\), \(Z=1\)이면 \(T=60\)입니다.

해석할 때 주의할 점

변환 표준점수는 서로 다른 분포에서 상대적 위치를 비교하기 위한 값입니다. 원점수 자체나 개인의 능력을 직접 평가하는 값으로 해석해서는 안 됩니다.

7 스스로 확인하기

문제 1

확률변수 \(X\)의 분포가 \(P(X=0)=0.3\), \(P(X=1)=0.7\)일 때 \(E(X)\)를 구해 보세요.

문제 2

\(X\sim\mathrm{B}(20,0.3)\)일 때 \(E(X)\)와 \(V(X)\)를 구해 보세요.

문제 3

평균이 \(40\), 표준편차가 \(5\)인 분포에서 \(X=50\)의 \(Z\)점수를 구해 보세요.