수학시간
고등학교 확률과 통계 · 확률

확률의 뜻과 활용

사건 사이의 관계를 확률로 표현하고, 조건부확률과 독립시행이 실제 자료 분류와 이항분포에 어떻게 연결되는지 알아봅니다.

확률의 뜻과 성질
덧셈·여사건
조건부확률·독립
이항분포·베이즈 정리

1 시행, 사건과 확률

확률을 계산하려면 먼저 시행의 모든 가능한 결과와 관심 있는 사건을 구분해야 합니다.

시행

같은 조건에서 반복할 수 있고 그 결과가 우연에 따라 정해지는 실험이나 관찰입니다.

표본공간 \(S\)

한 번의 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합입니다.

사건 \(A\)

표본공간의 부분집합으로, 관심 있는 결과를 모아 놓은 집합입니다.

배반사건

두 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우이며 \(A\cap B=\varnothing\)입니다.

수학적 확률
\(\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)

표본공간의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때 사용할 수 있습니다.

확률의 기본 성질
\(0\leq P(A)\leq1\)

반드시 일어나는 사건의 확률은 \(1\), 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 \(0\)입니다.

예제 · 서로 다른 두 주사위

서로 다른 두 주사위를 동시에 던질 때 두 눈의 합이 \(6\)일 확률을 구해 봅시다.

  1. 모든 결과는 \(6\times6=36\)가지입니다.
  2. 합이 \(6\)인 결과는 \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)의 \(5\)가지입니다.
\(\displaystyle P(A)=\frac{5}{36}\)

2 확률의 덧셈정리와 여사건

확률의 덧셈정리
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

두 사건에 공통으로 포함되는 부분을 한 번 빼 줍니다.

여사건의 확률
\(P(A^{\mathrm{C}})=1-P(A)\)

‘적어도 하나’처럼 반대 사건이 더 간단할 때 유용합니다.

같은 색 공이 나올 확률

흰 공 \(3\)개와 검은 공 \(4\)개 중 \(2\)개를 동시에 꺼낼 때 두 공의 색이 같을 확률은?

\(\displaystyle \frac{{}_3\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2} +\frac{{}_4\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_2} =\frac{3}{7}\)

적어도 한 개가 검은 공일 확률

흰 공 \(4\)개와 검은 공 \(3\)개 중 \(3\)개를 동시에 꺼낼 때 적어도 한 개가 검은 공일 확률은?

\(\displaystyle 1-\frac{{}_4\mathrm{C}_3}{{}_7\mathrm{C}_3} =1-\frac{4}{35}=\frac{31}{35}\)

3 조건부확률과 곱셈정리

어떤 사건이 이미 일어났다는 조건이 주어지면 표본공간을 그 사건으로 좁혀 생각합니다.

조건부확률
\(\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

단, \(P(A)>0\)입니다.

확률의 곱셈정리
\(P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)\)

첫 사건 뒤에 표본공간이 달라지는 연속 선택에서 특히 중요합니다.

조건이 붙은 자료

학생 \(100\)명 중 도서관을 방문한 학생이 \(35\)명이고, 그중 수학책을 빌린 학생이 \(20\)명입니다. 도서관을 방문한 학생 한 명을 택했을 때 수학책을 빌렸을 확률은?

구분학생 수
도서관 방문35
도서관 방문 및 수학책 대출20
\(\displaystyle P(B\mid A)=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}\)

되돌려 놓지 않는 카드 선택

빨간 카드 \(3\)장과 파란 카드 \(7\)장 중 한 장씩 연속으로 두 장을 뽑을 때 모두 빨간 카드일 확률은?

  1. 첫 카드가 빨간 카드일 확률은 \(\frac{3}{10}\)입니다.
  2. 첫 카드가 빨간 카드이면 남은 빨간 카드는 \(2\)장, 전체 카드는 \(9\)장입니다.
\(\displaystyle \frac{3}{10}\times\frac{2}{9}=\frac{1}{15}\)

4 사건의 독립과 독립시행

한 사건이 일어났는지가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않으면 두 사건은 서로 독립입니다.

두 사건의 독립
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)

독립과 배반은 서로 다른 개념입니다.

독립시행에서 정확히 \(r\)번 성공
\({}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}\)

성공 확률이 \(p\)인 독립시행을 \(n\)번 반복하는 경우입니다.

예제 · 독립적인 부품 검사

각 부품이 검사를 통과할 확률이 \(\frac45\)이고 결과가 서로 독립일 때, 부품 \(5\)개 중 정확히 \(3\)개가 통과할 확률을 구해 봅시다.

\(\displaystyle {}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac45\right)^3 \left(\frac15\right)^2 =\frac{128}{625}\)

5 갈톤 보드로 확인하는 이항분포

각 단계에서 왼쪽 또는 오른쪽으로 갈 확률이 각각 \(\frac12\)이라고 가정합니다. 시행 횟수가 많아질수록 실제 상대도수 분포가 이론적 이항분포에 가까워지는지 확인해 보세요.

시뮬레이션 · 행 수와 시행 횟수 바꾸기

실제 상대도수 이론적 확률
현재 결과

총 시행 횟수: 0회

시행 버튼을 눌러 분포를 만들어 보세요.

6 조건부확률과 분류 AI의 성능

재활용 가능 물품 사진을 분류하는 가상 AI의 결과를 이용하여 정밀도, 재현율, 정확도를 비교합니다. 아래 수치는 학습용 가상 자료이며 실제 분리배출 기준을 제시하는 자료가 아닙니다.

혼동행렬 입력

분류: 재활용
분류: 일반
실제
재활용
실제
일반

성능 지표

정밀도 80.0%

재활용으로 분류한 것 중 실제 재활용인 비율

\(\displaystyle \frac{\mathrm{TP}}{\mathrm{TP}+\mathrm{FP}}\)
재현율 80.0%

실제 재활용인 것 중 재활용으로 찾아낸 비율

\(\displaystyle \frac{\mathrm{TP}}{\mathrm{TP}+\mathrm{FN}}\)
정확도 80.0%

전체 사진 중 올바르게 분류한 비율

\(\displaystyle \frac{\mathrm{TP}+\mathrm{TN}}{\mathrm{TP}+\mathrm{TN}+\mathrm{FP}+\mathrm{FN}}\)
지표를 함께 살펴야 하는 이유 정확도만으로는 어떤 종류의 오류가 많은지 알기 어렵습니다. 목적에 따라 FP와 FN의 영향을 구분하고 정밀도와 재현율을 함께 확인해야 합니다.

7 심화 탐구 · 베이즈 정리

심화 탐구

베이즈 정리는 \(A\)가 일어났을 때 \(B\)가 일어날 확률을 이용하여, \(B\)가 관찰되었을 때 \(A\)가 일어났을 확률을 구하는 관계입니다.

베이즈 정리
\(\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\)

단, \(P(B)>0\)입니다.

분류 자료와의 연결

‘재활용으로 분류된 사진 중 실제 재활용인 비율’은 \(P(\text{실제 재활용}\mid\text{재활용 분류})\)로 나타낼 수 있습니다. 조건의 순서를 바꾸면 서로 다른 확률이 된다는 점을 확인해야 합니다.

기저율 확인 전체 자료에서 실제 재활용 사진의 비율처럼 사건이 원래 얼마나 자주 나타나는지도 사후 확률에 영향을 줍니다. 이를 무시하면 분류 결과를 과대평가하거나 과소평가할 수 있습니다.

8 스스로 확인하기

문제 1

두 사건 \(A,B\)가 배반사건이고 \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.4\)일 때 \(P(A\cup B)\)를 구해 보세요.

문제 2

\(P(A)=\frac12\), \(P(A\cap B)=\frac15\)일 때 \(P(B\mid A)\)를 구해 보세요.

문제 3

성공 확률이 \(\frac12\)인 독립시행을 \(4\)번 반복할 때 정확히 \(2\)번 성공할 확률을 구해 보세요.