수학시간

고등학교 공통수학1

순열과 조합

같은 대상을 고르더라도 순서를 생각하면 순열, 순서를 생각하지 않으면 조합입니다. 합의 법칙과 곱의 법칙을 바탕으로 두 개념의 차이와 계산 원리를 알아봅시다.

  1. 세기의 법칙
  2. 순열
  3. 조합
  4. 순열·조합 비교
  5. 디지털 도구

1 합의 법칙과 곱의 법칙 중학교 내용 연결

합의 법칙

두 사건이 동시에 일어나지 않고, 한 사건의 경우의 수가 \(m\), 다른 사건의 경우의 수가 \(n\)이면 두 사건 중 하나가 일어나는 경우의 수는 \(m+n\)입니다.

어느 하나를 고르는 경우
\(m+n\)

곱의 법칙

첫 번째 선택의 각 경우마다 두 번째 선택이 \(n\)가지씩 가능하고 첫 번째 선택이 \(m\)가지이면 두 선택을 잇달아 하는 경우의 수는 \(m\times n\)입니다.

두 선택을 잇달아 하는 경우
\(m\times n\)

2 순열

서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하여 순서를 생각하여 일렬로 나열하는 것을 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하는 순열이라고 합니다.

순열의 수
\({}_nP_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\)
\(\displaystyle {}_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\)
계승
\(n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1\)
\(0!=1\)

예제: 서로 다른 두 직책 정하기

  • 1후보 \(5\)명 중 회장을 정하는 경우는 \(5\)가지입니다.
  • 2남은 \(4\)명 중 부회장을 정하는 경우는 \(4\)가지입니다.
  • 3두 직책이 다르므로 \({}_5P_2=5\times4=20\)가지입니다.

3 조합

서로 다른 \(n\)개에서 순서를 생각하지 않고 \(r\)개를 택하는 것을 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하는 조합이라고 합니다.

조합의 수
\(\displaystyle {}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}\)
\(\displaystyle {}_nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

순열에서는 같은 \(r\)개를 고른 뒤 나열하는 \(r!\)가지가 모두 서로 다른 경우입니다. 조합에서는 이들을 하나의 선택으로 보므로 순열의 수를 \(r!\)로 나눕니다.

예제: 자격이 같은 대표 뽑기

  • 1학생 \(5\)명 중 대표 \(2\)명을 순서를 정해 뽑으면 \(5\times4=20\)가지입니다.
  • 2같은 두 사람을 뽑는 순서가 \(2!=2\)가지씩 있습니다.
  • 3따라서 \({}_5C_2=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)가지입니다.

4 순열과 조합 비교하기

모든 배열과 선택 확인하기

대상의 수 \(n\), 고르는 수 \(r\), 순서 고려 여부를 바꾸어 결과를 비교해 보세요.

3
2
순서를 생각할까?
계산
\({}_3P_2=3\times2=6\)

순서를 생각한 배열 \(6\)가지

  1. (\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\))
  2. (\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{C}\))
  3. (\(\mathrm{B}\), \(\mathrm{A}\))
  4. (\(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\))
  5. (\(\mathrm{C}\), \(\mathrm{A}\))
  6. (\(\mathrm{C}\), \(\mathrm{B}\))

5 Microsoft Excel과 Google 스프레드시트로 계산하기

다음 함수는 Microsoft Excel과 Google 스프레드시트에서 공통으로 사용할 수 있습니다. 통계 전용 프로그램의 명령어가 아니라 스프레드시트 셀에 입력하는 함수입니다.

순열

Excel · Google 스프레드시트

함수 형식: PERMUT(n, r)

셀 입력 예: =PERMUT(10, 3)

결과: \({}_{10}P_3=720\)

조합

Excel · Google 스프레드시트

함수 형식: COMBIN(n, r)

셀 입력 예: =COMBIN(10, 3)

결과: \({}_{10}C_3=120\)

계승

Excel · Google 스프레드시트

함수 형식: FACT(n)

셀 입력 예: =FACT(6)

결과: \(6!=720\)

6 스스로 확인하기

문제 1

서로 다른 책 \(7\)권 중 \(3\)권을 골라 왼쪽부터 차례로 놓는 경우의 수를 구하세요.

문제 2

학생 \(7\)명 중 자격이 같은 대표 \(3\)명을 뽑는 경우의 수를 구하세요.