수학시간

중학교 확률과 통계

자료의 분석

대푯값만으로는 자료의 분포를 충분히 설명할 수 없습니다. 산포도, 상자그림, 산점도를 이용하여 자료가 흩어진 정도와 두 변량 사이의 관계를 살펴봅시다.

  1. 대푯값 복습
  2. 분산과 표준편차
  3. 사분위수와 상자그림
  4. 산점도와 상관관계
  5. 디지털 도구 실습

1 대푯값 복습

평균

변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값입니다.

\(\displaystyle \text{평균}=\frac{\text{변량의 총합}}{\text{변량의 개수}}\)

중앙값

자료를 크기순으로 나열했을 때 가운데에 위치하는 값입니다.

극단적으로 크거나 작은 값의 영향을 평균보다 적게 받습니다.

최빈값

자료에서 가장 많이 나타나는 값입니다.

가장 많이 선택된 항목이나 가장 흔한 범주를 찾을 때에도 사용할 수 있습니다.

2 분산과 표준편차

편차

\(\text{편차}=\text{변량}-\text{평균}\)

편차의 합은 항상 \(0\)이므로 흩어진 정도를 구할 때에는 편차를 제곱합니다.

분산

\(\displaystyle \text{분산} =\frac{\text{편차의 제곱의 합}}{\text{변량의 개수}}\)

편차의 제곱을 평균한 값입니다.

표준편차

\(\text{표준편차}=\sqrt{\text{분산}}\)

분산의 양의 제곱근이며 원래 자료와 같은 단위를 사용합니다.

예제: \(6, 8, 10\)의 표준편차

  • 1평균은 \(\frac{6+8+10}{3}=8\)입니다.
  • 2편차는 \(6-8=-2\), \(8-8=0\), \(10-8=2\)입니다.
  • 3분산은 \(\frac{(-2)^2+0^2+2^2}{3}=\frac{8}{3}\)입니다.
  • 4표준편차는 \(\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1.63\)입니다.

평균이 같을 때 흩어진 정도 비교하기

다섯 값의 평균을 \(8\)로 유지하면서 자료가 흩어진 정도를 바꿔 보세요.

그래프를 불러오는 중입니다.
2
자료 6, 6, 8, 10, 10
평균 8
분산 3.20
표준편차 1.79

3 사분위수와 상자그림

자료를 크기순으로 나열한 뒤 다음 순서로 세 사분위수를 구합니다.

  • 1전체 자료의 중앙값을 제2사분위수 \(Q_2\)로 정합니다.
  • 2\(Q_2\)의 아래쪽에 놓인 자료의 중앙값을 제1사분위수 \(Q_1\)로 정합니다.
  • 3\(Q_2\)의 위쪽에 놓인 자료의 중앙값을 제3사분위수 \(Q_3\)로 정합니다.
사분위범위
\(\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1\)

큰 값이 상자그림에 미치는 영향

마지막 값을 바꾸어 최댓값과 사분위수의 변화를 비교해 보세요.

상자그림을 불러오는 중입니다.
10
자료 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
다섯 수 2, 3.5, 6, 8.5, 10
사분위범위 5

4 산점도와 상관관계

산점도

두 변량 \(x, y\)의 순서쌍 \((x,y)\)를 좌표평면에 점으로 나타낸 그림입니다. 점들의 전체적인 분포를 보고 두 변량 사이의 관계를 파악합니다.

상관관계

  • \(x\)가 증가할 때 \(y\)도 대체로 증가하면 양의 상관관계입니다.
  • \(x\)가 증가할 때 \(y\)가 대체로 감소하면 음의 상관관계입니다.
  • 점의 분포에서 뚜렷한 방향이 보이지 않으면 상관관계가 없다고 봅니다.

점의 분포에서 상관관계 읽기

세 버튼을 눌러 점들의 전체적인 방향을 비교해 보세요.

산점도를 불러오는 중입니다.
현재 점의 분포 양의 상관관계

5 디지털 도구로 분석하기

연습 자료

자료를 복사하여 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으세요.

학생 공부 시간 시험 점수
\(\mathrm{A}\)2시간60점
\(\mathrm{B}\)3시간70점
\(\mathrm{C}\)5시간85점
\(\mathrm{D}\)1시간50점
\(\mathrm{E}\)4시간80점

표준편차

전체 자료의 표준편차는 =STDEV.P(범위)로 구합니다.

사분위수

QUARTILE 계열 함수는 프로그램별 계산 규칙이 교과서 방식과 다를 수 있습니다.

교과서식 사분위수는 정렬된 자료에서 직접 확인하세요.

산점도

두 열을 선택한 뒤 차트 종류에서 산점도를 선택합니다.

추가 실습

EBSMath 이지통계에서도 자료를 입력하고 여러 통계 그래프를 확인할 수 있습니다.

이지통계 열기

6 스스로 확인하기

문제 1

자료 \(2, 4, 6\)의 분산과 표준편차를 구하세요.

문제 2

\(x\)가 증가할수록 \(y\)가 대체로 감소하는 산점도에서는 어떤 상관관계가 나타납니까?