수학시간

중학교 통계 · 자료의 정리와 해석

자료를 읽을 수 있는 정보로 바꾸기

자료를 모은 목적을 확인하고, 알맞은 표와 그래프로 정리한 뒤, 대푯값과 상대도수로 특징을 설명합니다. 하나의 예시 자료가 여러 표현으로 어떻게 연결되는지 살펴보세요.

  1. 자료와 변량
  2. 대푯값
  3. 자료의 정리
  4. 그래프
  5. 자료의 해석

1자료와 변량 통계의 출발

자료

조사하거나 관찰해 얻은 값을 자료라고 하며, 조사 대상이 가지는 점수·독서 시간·이동 시간과 같은 특성을 변량이라고 합니다.

  • 범주형 자료: 종류나 범주로 구분하는 자료
  • 수치형 자료: 수로 나타내어 계산할 수 있는 자료

조사 전에 확인할 것

  1. 무엇을 알아보려는가?
  2. 누구 또는 무엇을 조사하는가?
  3. 어떤 방법과 단위로 측정하는가?
  4. 빠진 자료나 잘못 기록된 값은 없는가?
자료의 종류와 조사 목적에 따라 알맞은 정리 방법이 달라집니다. 계산부터 하기보다 먼저 ‘이 자료로 무엇을 설명하려는가’를 확인합니다.

2자료의 대푯값 중앙 경향

평균

모든 변량의 합을 자료의 개수로 나눈 값입니다.

\(\displaystyle \text{평균}=\frac{\text{변량의 합}}{\text{자료의 개수}}\)

중앙값

자료를 크기순으로 나열했을 때 가운데에 놓이는 값입니다. 자료가 짝수 개이면 가운데 두 값의 평균을 구합니다.

최빈값

자료에서 가장 자주 나타나는 값입니다. 최빈값이 여러 개이거나 없을 수도 있습니다.

예제: 6명의 쪽지시험 점수

7, 8, 10, 8, 7, 8
  1. 크기순으로 나열하면 \(7,7,8,8,8,10\)입니다.
  2. 평균은 \(\dfrac{7+7+8+8+8+10}{6}=8\)점입니다.
  3. 중앙값은 \(\dfrac{8+8}{2}=8\)점입니다.
  4. 최빈값은 가장 많이 나타난 \(8\)점입니다.

한 값이 달라질 때 대푯값의 변화

시뮬레이션을 불러오는 중입니다.
10점
대푯값 \(\text{평균}=8\) \(\text{중앙값}=8\) \(\text{최빈값}=8\)

자료 \(7,7,8,8,8,x\)에서 \(x\)를 바꾸어 보세요. 큰 값 하나가 평균에 미치는 영향과 중앙값의 변화를 비교할 수 있습니다.

3자료의 정리 분포 나타내기

줄기와 잎 그림

각 자료를 큰 자리의 수인 줄기와 작은 자리의 수인 잎으로 나누어 나타냅니다. 자료의 실제 값과 분포를 함께 확인할 수 있습니다.

줄기(십의 자리)잎(일의 자리)
12　5　8
20　1　4　4　9
32　6

읽는 방법: \(2\mid4\)는 \(24\)회를 뜻합니다.

도수분포표

자료를 일정한 간격의 계급으로 나누고 각 계급에 속하는 자료의 수인 도수를 조사해 표로 나타냅니다.

봉사활동 시간(시간)도수(명)계급값(시간)
0 이상 5 미만42.5
5 이상 10 미만87.5
10 이상 15 미만612.5
15 이상 20 미만217.5
합계20-
  • 계급의 크기: \(5\)시간
  • 계급값: 계급의 양 끝값의 평균
  • 예를 들어 5 이상 10 미만인 계급의 계급값은 \(\dfrac{5+10}{2}=7.5\)입니다.

4자료의 시각화 그래프

히스토그램

가로축에 계급, 세로축에 도수를 나타내고 각 계급의 도수를 직사각형으로 나타냅니다. 계급이 이어져 있으므로 직사각형을 붙여 그립니다.

도수분포다각형

각 계급값에서 도수에 해당하는 점을 찍어 선분으로 연결합니다. 양 끝에는 도수가 \(0\)인 계급이 하나씩 더 있다고 생각해 선을 닫습니다.

같은 도수분포표를 두 그래프로 나타내기

그래프를 불러오는 중입니다.

그래프를 바꾸어도 계급과 도수는 같습니다. 히스토그램의 각 윗변 중점이 도수분포다각형의 점과 만나는지 확인하세요.

구분막대그래프히스토그램
가로축서로 다른 범주나 항목연속적인 수치 자료의 계급
막대 사이띄어 그림붙여 그림
순서목적에 따라 바꿀 수 있음수의 크기순으로 고정

5상대도수와 자료의 해석 비교

전체 도수에 대한 각 계급의 도수의 비를 상대도수라고 합니다. 자료의 수가 다른 두 집단의 분포를 비교할 때 유용합니다.

\(\displaystyle \text{상대도수}=\frac{\text{그 계급의 도수}}{\text{도수의 총합}}\)
봉사활동 시간도수상대도수백분율
0 이상 5 미만40.220%
5 이상 10 미만80.440%
10 이상 15 미만60.330%
15 이상 20 미만20.110%
합계201.0100%
반올림한 상대도수를 더하면 \(1\)과 약간 다를 수 있습니다. 비교할 때는 자료의 수뿐 아니라 계급의 범위와 측정 단위가 같은지도 확인합니다.

6스프레드시트로 자료 정리하기 도구 활용

아래 자료를 복사해 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 열별로 정리됩니다.

이름    독서시간(분)    수학점수    통학시간(분)
학생1   30              85          25
학생2   45              90          15
학생3   20              78          35
학생4   60              95          20
… 총 10명

  1. 독서시간의 평균: =AVERAGE(B2:B11)
  2. 수학점수의 중앙값: =MEDIAN(C2:C11)
  3. 80점 이상 90점 미만인 학생 수: =COUNTIFS(C2:C11,">=80",C2:C11,"<90")
EBSMath 이지통계 Google 스프레드시트

7스스로 확인하기

1. 자료 \(2,3,3,5,7\)의 평균, 중앙값, 최빈값을 구하세요.

2. 계급이 10 이상 20 미만일 때 계급의 크기와 계급값을 구하세요.

3. 전체 도수가 40이고 어떤 계급의 도수가 6일 때 상대도수는?

4. 히스토그램의 직사각형 사이를 붙여 그리는 이유는 무엇인가요?