수학시간

수와 연산 · 수를 배열하여 정보를 다루는 방법

행렬

행렬은 여러 수를 행과 열로 정리한 직사각형 배열입니다. 표와 그림의 정보를 간단히 나타낼 수 있고, 같은 위치의 성분을 계산하거나 행과 열을 결합하여 새로운 정보를 만들 수 있습니다.

행렬의 행, 열, 성분과 크기를 설명할 수 있다.
행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배를 계산할 수 있다.
행과 열을 이용하여 행렬의 곱을 구할 수 있다.
01

행렬의 뜻과 성분

가로줄은 행, 세로줄은 열입니다. 행의 개수를 먼저 읽습니다.

행렬의 기본 용어

  • 행렬: 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열한 것
  • 행: 행렬의 가로줄
  • 열: 행렬의 세로줄
  • 성분: 행렬을 이루는 각각의 수나 문자

\(m\times n\) 행렬

\[ A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{pmatrix} \]

이 행렬은 행이 2개, 열이 3개이므로 \(2\times3\) 행렬입니다. \(a_{ij}\)에서 \(i\)는 행 번호, \(j\)는 열 번호입니다.

성분 찾기
\[ A= \begin{pmatrix} 2&-1&3\\ 0&5&4 \end{pmatrix} \]

\(a_{12}=-1\), \(a_{23}=4\)입니다.

아래첨자는 항상 행 번호 → 열 번호의 순서로 읽습니다.

서로 같은 행렬

두 행렬의 크기가 같고 대응하는 모든 성분이 같을 때 두 행렬은 서로 같습니다.

\[ \begin{pmatrix}x&2\\3&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad x=1,\ y=4 \]
읽기 주의: \(2\times3\) 행렬은 “2행 3열 행렬”입니다. 곱셈 기호처럼 보여도 \(2\cdot3\)을 계산하는 뜻은 아닙니다.
02

덧셈, 뺄셈과 실수배

행렬의 같은 위치에 있는 성분끼리 계산합니다.

\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \]
\[ B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix} \]
\[ k\text{는 실수} \]

덧셈

\[ \begin{aligned} &A+B\\[4pt] &= \begin{pmatrix} a+p&b+q\\ c+r&d+s \end{pmatrix} \end{aligned} \]

뺄셈

\[ \begin{aligned} &A-B\\[4pt] &= \begin{pmatrix} a-p&b-q\\ c-r&d-s \end{pmatrix} \end{aligned} \]

실수배

\[ \begin{aligned} &kA\\[4pt] &= \begin{pmatrix} ka&kb\\ kc&kd \end{pmatrix} \end{aligned} \]

행렬의 모든 성분에 실수 \(k\)를 곱합니다.

예제 · \(2A+B\) 계산하기

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-1&0\\2&5\end{pmatrix}\)일 때

\[ \begin{aligned} 2A+B &= 2\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&0\\2&5\end{pmatrix}\\[5pt] &= \begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&0\\2&5\end{pmatrix}\\[5pt] &= \begin{pmatrix}1&4\\8&13\end{pmatrix} \end{aligned} \]
계산 조건: 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 같을 때만 할 수 있습니다. 예를 들어 \(2\times3\) 행렬과 \(3\times2\) 행렬은 성분 수가 같아도 대응하는 위치가 다르므로 더할 수 없습니다.
03

행렬의 곱

앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 차례로 곱하여 더합니다.

곱셈이 가능한 조건: 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 합니다.
\(A\): \(m\times\boldsymbol{n}\)
×
\(B\): \(\boldsymbol{n}\times p\)
→
\(AB\): \(m\times p\)
가운데의 두 수 \(n\)이 같아야 곱셈이 가능하고, 바깥쪽의 두 수 \(m,p\)가 곱 \(AB\)의 크기가 됩니다.

한 성분을 구하는 원리

곱 \(AB\)의 \((i,j)\) 성분은 \(A\)의 \(i\)행과 \(B\)의 \(j\)열을 이용합니다.

\[ \begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ z \end{pmatrix} =ax+bz \]

같은 순서에 있는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더합니다.

\(2\times2\) 행렬의 곱

\[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+bz&ay+bw\\ cx+dz&cy+dw \end{pmatrix} \]
예제 · 행렬의 곱 계산하기
\[ \begin{aligned} & \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}\\[5pt] &= \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot(-1)&1\cdot0+2\cdot2\\ 3\cdot1+4\cdot(-1)&3\cdot0+4\cdot2 \end{pmatrix}\\[5pt] &= \begin{pmatrix}-1&4\\-1&8\end{pmatrix} \end{aligned} \]
덧셈과 혼동하지 않기: 행렬의 곱은 같은 위치의 성분끼리 단순히 곱하는 계산이 아닙니다. 반드시 행 × 열의 순서로 계산합니다.
04

행렬 곱셈 시뮬레이션

선택된 행과 열이 결과 행렬의 어느 성분을 만드는지 확인해 봅시다.

행 × 열 계산기

성분을 바꾼 뒤 ‘한 단계씩’을 누르면 네 성분의 계산 과정이 차례대로 나타납니다.

앞 행렬의 행 뒤 행렬의 열 결과 성분
행렬 \(A\)
행렬 \(B\)
곱 \(AB\)
‘한 단계씩’을 누르면 \(AB\)의 \((1,1)\) 성분부터 계산합니다.
05

행렬 연산의 성질

수의 연산과 닮은 점도 있지만, 중요한 차이도 있습니다.

성질 행렬에서의 표현 설명
덧셈의 교환법칙 \(A+B=B+A\) 같은 위치의 성분끼리 더하므로 순서를 바꾸어도 같습니다.
곱셈의 결합법칙 \((AB)C=A(BC)\) 각 곱이 정의될 때 어느 두 행렬을 먼저 곱해도 결과가 같습니다.
분배법칙 \(A(B+C)=AB+AC\) 수의 곱셈과 마찬가지로 분배법칙이 성립합니다.
곱셈의 교환법칙 \(AB\ne BA\)인 경우가 많음 곱하는 순서를 바꾸면 행과 열의 짝이 달라집니다.
단위행렬 \(AI=IA=A\) \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)는 수의 1과 비슷한 역할을 합니다.
왜 \(AB\ne BA\)일까?
\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \] \[ AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \]

두 곱이 모두 가능해도 결과는 서로 다를 수 있습니다.

곱의 순서가 중요한 이유

행렬의 곱은 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 결합합니다. 순서를 바꾸면 서로 다른 행과 열을 결합하므로 결과의 크기가 달라지거나, 한쪽 곱만 가능할 수도 있습니다.

06

생활 속 행렬과 자기 확인

표, 그림, 좌표의 정보를 행렬로 나타내면 컴퓨터가 계산하기 쉬워집니다.

디지털 이미지

흑백 이미지는 각 픽셀의 밝기를 0부터 255까지의 수로 나타낸 행렬로 저장할 수 있습니다.

20 60 120 230 40 100 165 245 75 135 198 255 30 85 155 216

밝기값을 바꾸거나 주변 픽셀의 값을 함께 계산하면 밝기 조절, 흐림, 선명화 같은 처리를 할 수 있습니다.

좌표의 이동과 회전

평면의 점을 열행렬로 나타내면 행렬의 곱으로 도형을 확대하거나 회전할 수 있습니다.

\[ \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix} \]

이 계산은 점 \((x,y)\)를 원점을 중심으로 반시계 방향으로 \(90^\circ\) 회전시킵니다.

행렬이 널리 쓰이는 까닭

많은 수를 일정한 규칙으로 배열하면 한꺼번에 계산할 수 있습니다. 이미지와 영상, 인공지능의 학습 자료, 위치 좌표와 같은 많은 정보가 행렬로 정리됩니다. 행렬은 단순한 표가 아니라 정보를 배열하고 변환하는 계산 언어입니다.

스스로 확인하기

1. 행렬의 크기와 성분

\(A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\3&5&4\end{pmatrix}\)의 크기와 \(a_{23}\)을 구하세요.

정답: \(2\times3\) 행렬이고 \(a_{23}=4\)입니다.
2. 같은 행렬

\(\begin{pmatrix}x&-1\\2&y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix}\)일 때 \(x,y\)를 구하세요.

정답: 대응하는 성분을 비교하면 \(x=3,\ y=5\)입니다.
3. 행렬의 덧셈

\(\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4&-2\\5&1\end{pmatrix}\)을 계산하세요.

정답: \(\begin{pmatrix}5&0\\4&4\end{pmatrix}\)
4. 행렬의 곱

\(\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)을 계산하세요.

정답: \(1\cdot3+2\cdot4=11\)입니다.