수학시간

수와 연산 · 수 체계의 확장

복소수

실수 범위에서는 \(x^2=-1\)을 만족하는 수가 없습니다. 새로운 수 \(i\)를 정의하면 이러한 방정식도 해결할 수 있고, 모든 실수와 허수를 하나의 수 체계로 다룰 수 있습니다.

복소수의 뜻과 실수부분·허수부분을 설명할 수 있다.
복소수의 상등과 켤레복소수를 이해할 수 있다.
복소수의 사칙계산과 음수의 제곱근을 계산할 수 있다.
01

허수단위와 복소수의 뜻

\(i^2=-1\)이 되도록 새로운 수 \(i\)를 정의합니다.

허수단위 \(i\)

\[ i^2=-1 \]

\(i^2=-1\)을 만족하도록 정한 수 \(i\)를 허수단위라고 합니다. \(i\)는 실수가 아니며, \(-i\)도 제곱하면 \(-1\)이 됩니다.

복소수의 표준형

\[ z=a+bi \qquad(a,b\text{는 실수}) \]

\(a\)는 실수부분, \(b\)는 허수부분입니다. 허수부분은 \(bi\)가 아니라 \(i\)의 계수인 \(b\)입니다.

\(i\)의 거듭제곱

\(i\)의 거듭제곱은 네 번마다 같은 값이 반복됩니다.

\(i^1\)\(i\)
\(i^2\)\(-1\)
\(i^3\)\(-i\)
\(i^4\)\(1\)
복소수 \(a+bi\)

실수

\(b=0\)

예: \(3,\ -2,\ \sqrt2\)

허수

\(b\ne0\)

예: \(2+3i,\ -i\)

\(a=0,\ b\ne0\)이면 순허수입니다.

예제 1 · 실수부분과 허수부분
\(2+3i\)
실수부분 \(2\), 허수부분 \(3\)
\(5-\sqrt2i\)
실수부분 \(5\), 허수부분 \(-\sqrt2\)
\(-4i\)
실수부분 \(0\), 허수부분 \(-4\)
복소수에는 일반적인 대소 관계를 정하지 않습니다. 실수끼리는 크기를 비교할 수 있지만, 일반적인 복소수 \(1+i\)와 \(2\)에 \(>\) 또는 \(\lt\)를 붙여 크기를 비교하지 않습니다.
02

복소수가 서로 같을 조건

실수부분과 허수부분이 각각 같아야 합니다.

\[ a+bi=c+di \quad\Longleftrightarrow\quad a=c,\ b=d \]

특히 \(a+bi=0\)이면 \(a=0\)이고 \(b=0\)입니다.

예제 2 · 미지수 구하기

\((x-1)+2yi=3+6i\)를 만족하는 실수 \(x,y\)를 구합니다.

\[ \begin{aligned} x-1&=3 &\Rightarrow\quad x&=4\\ 2y&=6 &\Rightarrow\quad y&=3 \end{aligned} \]
03

켤레복소수

허수부분의 부호만 바꾼 복소수입니다.

정의

\[ z=a+bi \quad\Longrightarrow\quad \overline z=a-bi \]

실수의 켤레복소수는 자기 자신이고, 순허수의 켤레복소수는 부호가 반대입니다.

중요한 성질

\[ \begin{aligned} z+\overline z&=2a\\ z\overline z&=a^2+b^2 \end{aligned} \]

합과 곱이 모두 실수가 된다는 점을 나눗셈에 이용합니다.

예제 3 · 켤레복소수 구하기
\(\overline{3+2i}=3-2i\)
\(\overline{1-\sqrt5i}=1+\sqrt5i\)
\(\overline{-4i}=4i\)
04

복소수의 덧셈과 뺄셈

실수부분끼리, 허수부분끼리 계산합니다.

\[ \begin{aligned} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i\\ (a+bi)-(c+di)&=(a-c)+(b-d)i \end{aligned} \]
예제 4 · 덧셈
\[ \begin{aligned} (2+3i)+(4-5i) &=(2+4)+(3-5)i\\ &=6-2i \end{aligned} \]
예제 5 · 뺄셈
\[ \begin{aligned} (5-2i)-(3+i) &=(5-3)+(-2-1)i\\ &=2-3i \end{aligned} \]
부호에 주의하세요. 뺄셈에서는 뒤 복소수 전체의 부호가 바뀝니다. 특히 \(-(3+i)=-3-i\)입니다.
05

복소수의 곱셈과 나눗셈

곱셈에서는 \(i^2=-1\), 나눗셈에서는 켤레복소수를 이용합니다.

곱셈

분배법칙으로 전개한 다음 \(i^2\)을 \(-1\)로 바꿉니다.

\[ (a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i \]

나눗셈

분모의 켤레복소수를 분모와 분자에 곱합니다.

\[ \dfrac{a+bi}{c+di} =\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \]

\(c\)와 \(d\)가 동시에 \(0\)인 경우는 제외합니다.

예제 6 · 곱셈
\[ \begin{aligned} (1+2i)(3-i) &=3-i+6i-2i^2\\ &=3+5i+2\\ &=5+5i \end{aligned} \]
예제 7 · 나눗셈
\[ \begin{aligned} \dfrac{1+i}{1-i} &=\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\\ &=\dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}\\ &=\dfrac{2i}{2}\\ &=i \end{aligned} \]
  1. 분모의 켤레복소수를 찾는다.
  2. 분모와 분자에 같은 수를 곱한다.
  3. \(i^2=-1\)을 이용해 전개한다.
  4. \(a+bi\) 꼴로 정리한다.
06

음수의 제곱근

음수의 근호는 먼저 \(i\)를 사용하여 나타낸 뒤 계산합니다.

\(a>0\)일 때 다음과 같이 나타냅니다.

\[ \sqrt{-a}=i\sqrt a \]

따라서 방정식 \(x^2=-a\)의 두 해는 \(x=\pm i\sqrt a\)입니다. 예를 들어 \(x^2=-9\)의 해는 \(x=\pm3i\)입니다.

양수의 제곱근 법칙을 음수에 그대로 적용하면 안 됩니다. \(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}\)는 \(a\ge0,\ b\ge0\)일 때 사용하는 법칙입니다. 음수가 들어 있으면 먼저 \(\sqrt{-a}=i\sqrt a\)로 바꾸어 계산합니다.
예제 8 · 음수의 제곱근 곱셈
\[ \begin{aligned} \sqrt{-2}\sqrt{-8} &=(i\sqrt2)(i\sqrt8)\\ &=i^2\sqrt{16}\\ &=-4 \end{aligned} \]
예제 9 · 음수의 제곱근 나눗셈
\[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} &=\dfrac{\sqrt{12}}{i\sqrt3}\\ &=\dfrac2i\\ &=\dfrac{2i}{i^2}\\ &=-2i \end{aligned} \]

읽을거리 · 복소수는 왜 필요해졌을까요?

16세기에는 삼차방정식의 해법을 연구하는 과정에서 음수의 제곱근이 실제 계산에 등장했습니다. 이후 허수와 복소수의 표기와 계산법이 정리되었고, 복소수를 평면의 점으로 나타내는 관점이 자리 잡으면서 복소수는 방정식, 전기·전자, 파동 등 여러 분야의 중요한 도구가 되었습니다.

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스스로 확인하기

먼저 계산한 뒤 문제를 눌러 풀이를 확인하세요.

① \(3-5i\)의 실수부분과 허수부분

실수부분은 \(3\), 허수부분은 \(-5\)입니다.

② \(i^{18}\)의 값
\[ i^{18}=i^{16}i^2=(i^4)^4i^2=-1 \]
③ \((2+i)(1-3i)\)
\[ (2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=5-5i \]
④ \(\sqrt{-25}\)와 \(x^2=-25\)의 해

\(\sqrt{-25}=5i\)이고, 방정식의 두 해는 \(x=\pm5i\)입니다.