수학시간

수와 연산 · 제곱근

근호를 포함한 식의 계산

근호가 있어도 계산 원리는 문자식과 같습니다. 곱셈과 나눗셈에서는 근호 안의 수를 계산하고, 덧셈과 뺄셈에서는 근호 안의 수가 같은 항끼리 모읍니다.

제곱근의 곱셈과 나눗셈을 계산할 수 있다.
분모를 유리화하고 근호를 간단히 할 수 있다.
근호를 포함한 식의 사칙계산과 대소 비교를 할 수 있다.
01

제곱근의 곱셈과 나눗셈

근호 밖의 수끼리, 근호 안의 수끼리 각각 계산합니다.

곱셈

\(a\ge0,\ b\ge0\)일 때 다음이 성립합니다.

\[ \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]

계수가 있으면 계수끼리도 곱합니다.

\[ (m\sqrt{a})(n\sqrt{b})=mn\sqrt{ab} \]

나눗셈

\(a\ge0,\ b>0\)일 때 다음이 성립합니다.

\[ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\sqrt{\dfrac{a}{b}} \]

나눈 뒤에는 약분하고 근호를 가장 간단한 형태로 나타냅니다.

예제 1 · 곱셈
\[ \begin{aligned} \sqrt2\cdot\sqrt6 &=\sqrt{12}\\ &=\sqrt{2^2\cdot3}\\ &=2\sqrt3 \end{aligned} \]
예제 2 · 나눗셈
\[ \begin{aligned} \sqrt{12}\div\sqrt3 &=\sqrt{\dfrac{12}{3}}\\ &=\sqrt4\\ &=2 \end{aligned} \]
근호 밖으로 꺼내기 \(b\ge0\)일 때 \(\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b\)입니다. 특히 \(a>0\)이면 \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\)이므로 \(\sqrt{72}=\sqrt{6^2\cdot2}=6\sqrt2\)입니다.
덧셈에는 곱셈 법칙을 적용할 수 없습니다. 일반적으로 \(\sqrt a+\sqrt b\ne\sqrt{a+b}\)입니다. 예를 들어 \(1+1=2\)이지만 \(\sqrt{1+1}=\sqrt2\)입니다.
02

분모의 유리화

분모와 분자에 같은 수를 곱하여 분모의 근호를 없앱니다.

왜 값이 바뀌지 않을까요?

분모와 분자에 같은 \(0\)이 아닌 수를 곱하는 것은 분수에 \(1\)을 곱하는 것과 같습니다.

\[ \dfrac{a}{\sqrt b} =\dfrac{a}{\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b} =\dfrac{a\sqrt b}{b} \qquad(b>0) \]
  1. 분모의 근호를 확인한다.
  2. 분모와 분자에 같은 근호를 곱한다.
  3. \((\sqrt b)^2=b\)를 이용한다.
  4. 약분하여 가장 간단히 나타낸다.
예제 3 · 기본 유리화
\[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} &=\dfrac{\sqrt3\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}\\ &=\dfrac{\sqrt6}{2} \end{aligned} \]
예제 4 · 약분까지 하기
\[ \begin{aligned} \dfrac6{\sqrt3} &=\dfrac{6\sqrt3}{3}\\ &=2\sqrt3 \end{aligned} \]
03

제곱근의 덧셈과 뺄셈

근호 안의 수가 같은 항끼리 계수를 계산합니다.

동류항처럼 계산하기

\[ m\sqrt a+n\sqrt a=(m+n)\sqrt a \qquad(a\ge0) \]

\(2x+4x=6x\)와 같은 원리입니다. \(\sqrt a\)를 하나의 문자처럼 생각하면 됩니다.

근호 안의 수가 다르면?

먼저 근호를 간단히 하여 같은 근호가 되는지 확인합니다. 끝까지 근호 안의 수가 다르면 더 이상 합칠 수 없습니다.

\[ \sqrt2+\sqrt3 \quad\text{는 더 간단히 할 수 없습니다.} \]
예제 5 · 먼저 근호를 간단히 하기
\[ \begin{aligned} \sqrt{12}+\sqrt{27} &=2\sqrt3+3\sqrt3\\ &=(2+3)\sqrt3\\ &=5\sqrt3 \end{aligned} \]
계산 순서 근호를 간단히 하기 → 같은 근호끼리 모으기 → 계수 계산하기
04

근호를 포함한 혼합 계산

분배법칙과 계산 순서를 지키고 마지막에 결과를 정리합니다.

  1. 괄호를 풀거나 괄호 안을 계산한다.
  2. 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한다.
  3. 같은 근호끼리 더하고 뺀다.
  4. 유리화·약분하여 마무리한다.
예제 6 · \(\sqrt2(\sqrt3+1)-\dfrac2{\sqrt6}\)을 간단히 하기
\[ \begin{aligned} &\sqrt2(\sqrt3+1)-\dfrac2{\sqrt6}\\ &\quad=\sqrt6+\sqrt2-\dfrac{2\sqrt6}{6}\\ &\quad=\sqrt6+\sqrt2-\dfrac{\sqrt6}{3}\\ &\quad=\left(1-\dfrac13\right)\sqrt6+\sqrt2\\ &\quad=\dfrac{2\sqrt6}{3}+\sqrt2 \end{aligned} \]

첫 줄에서 분배법칙을 적용하고 동시에 \(\dfrac2{\sqrt6}\)의 분모를 유리화했습니다. 마지막에는 같은 근호 \(\sqrt6\)을 가진 항끼리 계산합니다.

05

실수의 대소 비교

두 수의 차의 부호를 조사하면 어느 수가 더 큰지 판단할 수 있습니다.

\(A-B\)의 부호로 판단하기

  • \(A-B>0\Rightarrow A>B\)
  • \(A-B=0\Rightarrow A=B\)
  • \(A-B\lt0\Rightarrow A\lt B\)
예제 7 · \(\sqrt5+1\)과 \(3\) 비교하기
\[ \begin{aligned} (\sqrt5+1)-3 &=\sqrt5-2\\ &=\sqrt5-\sqrt4 \end{aligned} \]

\(5>4\)이므로 \(\sqrt5>\sqrt4\)이고, 따라서 차는 양수입니다. 그러므로 \(\sqrt5+1>3\)입니다.

06

제곱근표와 근삿값

표의 값을 이용하고 소수점을 두 자리씩 옮겨 필요한 제곱근을 구합니다.

제곱근표의 일부

표에는 보통 \(1.00\)부터 \(99.9\)까지의 양의 제곱근이 소수점 아래 셋째 자리까지 제시됩니다.

찾는 수 제곱근의 근삿값
\(2.00\)\(1.414\)
\(2.01\)\(1.418\)
\(2.02\)\(1.421\)
\(20.0\)\(4.472\)
\(20.1\)\(4.483\)
\(20.2\)\(4.494\)

소수점은 왜 두 자리씩 옮길까요?

근호 안의 수에 \(100\)을 곱하면 제곱근에는 \(10\)이 곱해집니다. 반대로 \(100\)으로 나누면 제곱근은 \(10\)으로 나누어집니다.

\[ \sqrt{100a}=10\sqrt a, \qquad \sqrt{\dfrac a{100}}=\dfrac{\sqrt a}{10} \]
예제 8 · \(\sqrt{200}\)
\[ \begin{aligned} \sqrt{200} &=\sqrt{2\cdot100}\\ &=10\sqrt2\\ &\approx10\cdot1.414\\ &=14.14 \end{aligned} \]
예제 9 · \(\sqrt{0.2}\)
\[ \begin{aligned} \sqrt{0.2} &=\sqrt{\dfrac{20}{100}}\\ &=\dfrac{\sqrt{20}}{10}\\ &\approx\dfrac{4.472}{10}\\ &=0.4472 \end{aligned} \]
근삿값끼리 계산할 때는 오차를 생각해야 합니다. 근삿값의 곱셈 자체가 틀린 것은 아닙니다. 예를 들어 \(1.414\cdot1.732=2.449048\)이고 소수점 아래 셋째 자리까지 나타내면 \(2.449\)입니다. 다만 중간 값을 일찍 반올림할수록 오차가 누적될 수 있으므로, 가능한 경우 \(\sqrt6\)을 표에서 직접 찾거나 충분한 자릿수를 사용합니다.

미리보기 · 분모가 두 항일 때

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)을 이용하면 분모가 \(\sqrt2+1\)처럼 두 항인 경우도 유리화할 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} \dfrac1{\sqrt2+1} &=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}\\ &=\dfrac{\sqrt2-1}{2-1}\\ &=\sqrt2-1 \end{aligned} \]
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스스로 확인하기

먼저 계산한 뒤 각 문제를 눌러 풀이를 확인하세요.

① \(\sqrt8\cdot\sqrt6\)
\[ \sqrt8\cdot\sqrt6=\sqrt{48}=4\sqrt3 \]
② \(\dfrac5{\sqrt5}\)
\[ \dfrac5{\sqrt5}=\dfrac{5\sqrt5}{5}=\sqrt5 \]
③ \(\sqrt{18}+\sqrt8\)
\[ \sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2 \]
④ \(\sqrt7+1\)과 \(4\) 비교

\(7\lt9\)이므로 \(\sqrt7\lt3\)입니다. 양변에 \(1\)을 더하면 \(\sqrt7+1\lt4\)입니다.