수학시간

수와 연산 · 제곱근과 실수

제곱근과 실수

정사각형의 넓이에서 시작하여 제곱근의 뜻을 이해하고, 유리수만으로 나타낼 수 없는 수가 수직선의 어디에 놓이는지 확인해 봅시다.

  • 제곱근의 뜻과 근호의 의미를 설명할 수 있다.
  • 제곱근의 성질을 이용하여 값을 구하고 대소를 비교할 수 있다.
  • 무리수와 실수의 관계를 이해하고 근삿값을 구할 수 있다.
01

제곱근의 뜻과 표현

넓이가 주어졌을 때 정사각형의 한 변의 길이를 생각합니다.

넓이
\(a\) \(x\) \(x\)

제곱해서 \(a\)가 되는 수

어떤 수 \(x\)를 제곱하여 \(a\)가 될 때, \(x\)를 \(a\)의 제곱근이라고 합니다.

\[ x^2=a \quad\Longleftrightarrow\quad x\text{는 }a\text{의 제곱근} \]

\(a>0\)일 때 \(a\)의 제곱근은 \(\sqrt{a}\)와 \(-\sqrt{a}\)의 두 개이며, \(\sqrt{a}\)는 그중 0보다 큰 제곱근을 뜻합니다.

\(9\)의 제곱근

\(3^2=9\), \((-3)^2=9\)이므로 \(9\)의 제곱근은 \(3\), \(-3\)입니다.

\[\pm\sqrt{9}=\pm3\]

제곱근 \(9\)

‘제곱근 \(9\)’는 근호로 쓴 수 \(\sqrt{9}\)를 읽은 말이며 값은 양수 \(3\)입니다.

\[\sqrt{9}=3\]
부호를 함께 확인하세요. \(0\)의 제곱근은 \(0\) 하나입니다. 음수는 실수의 범위에서 제곱근을 갖지 않습니다.
02

제곱근의 성질과 대소 비교

제곱과 제곱근의 관계를 이용하면 값을 구하고 크기를 비교할 수 있습니다.

제곱근의 기본 성질

  • \((\sqrt{a})^2=a\quad(a\ge0)\)
  • \(\sqrt{a^2}=a\quad(a\ge0)\)
  • \(\sqrt{(-a)^2}=a\quad(a\ge0)\)
  • \(\sqrt{x^2}=|x|\quad(x\text{는 실수})\)

양수의 대소 비교

  • \(0\lt a\lt b\)이면 \(\sqrt{a}\lt\sqrt{b}\)
  • \(2=\sqrt{4}<\sqrt{5}\)이므로 \(2<\sqrt{5}\)
  • \(\sqrt{7}<\sqrt{9}=3\)이므로 \(\sqrt{7}<3\)
  • 필요하면 자연수를 먼저 근호로 바꾸어 비교합니다.

제곱근의 범위 찾기

양옆의 자연수를 제곱하여 주어진 수를 사이에 놓아 보세요.

03

무리수와 실수

유리수와 무리수를 모두 합치면 수직선 위의 모든 수인 실수가 됩니다.

실수

유리수

  • 분수 \(\dfrac{a}{b}\;(a,b\text{는 정수},\,b\ne0)\)로 나타낼 수 있는 수
  • 정수, 유한소수, 순환소수
  • 예: \(-3,\;\dfrac25,\;0.1\dot6\)

무리수

  • 분수로 나타낼 수 없는 수
  • 순환하지 않는 무한소수
  • 예: \(\sqrt{2},\;\sqrt{3},\;\pi\)
근호가 있다고 항상 무리수는 아닙니다. \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\)처럼 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 근호를 없앨 수 있고 그 값은 유리수입니다.
04

수직선 위에 제곱근 나타내기

직각삼각형의 빗변과 원호를 이용하면 무리수를 정확한 위치에 옮길 수 있습니다.

제곱근 작도 시뮬레이션

값을 선택하고 직각삼각형의 두 변, 빗변, 원호가 수직선으로 이어지는 과정을 살펴보세요.

05

제곱근의 근삿값 구하기

양옆의 수를 제곱하여 범위를 좁히면 소수점 아래의 값을 한 자리씩 찾을 수 있습니다.

소수 한 자리씩 범위 좁히기

‘다음 자리’ 버튼을 누를 때마다 \(\sqrt{n}\)이 놓이는 구간을 10배 더 세밀하게 나눕니다.

    계산기에 나타난 값은 근삿값입니다. \(\sqrt{2}=1.41421356\dots\)처럼 무리수의 소수 표현은 순환하지 않고 끝없이 이어집니다. 화면에 보이는 마지막 자리에서 값이 끝나는 것은 아닙니다.
    06

    개평법으로 제곱근 구하기

    나눗셈처럼 한 자리씩 계산하여 제곱근의 소수 표현을 찾는 방법입니다.

    개평법의 원리

    이미 구한 제곱근의 숫자를 \(p\), 새로 붙일 한 자리 숫자를 \(x\)라고 합시다. 다음 단계의 제곱근 숫자는 \(10p+x\)가 됩니다.

    \[ \begin{aligned} (10p+x)^2 &=(10p)^2+20px+x^2\\ &=(10p)^2+(20p+x)x \end{aligned} \]

    이전 단계의 정사각형 \((10p)^2\)에서 새로 늘어나는 넓이가 \((20p+x)x\)입니다. 따라서 다음 두 자리를 내려 만든 수를 \(R\)이라고 할 때, 다음 조건을 만족하는 가장 큰 한 자리 수 \(x\)를 찾습니다.

    \[ (20p+x)x\le R \qquad (x=0,1,\dots,9) \]

    넓이 확장 개념도 · 실제 길이비와는 다릅니다.

    • 왜 두 자리씩 묶을까요? 제곱근에 한 자리 숫자가 늘면 자릿값은 \(10\)배가 되고, 제곱한 수의 자릿값은 \(100\)배가 되므로 원래 수를 두 자리씩 내려옵니다.
    • \(p\)는 무엇일까요? 지금까지 구한 제곱근에서 소수점을 잠시 빼고 읽은 정수입니다. 예를 들어 \(1.41\)까지 구했다면 \(p=141\)로 계산합니다.
    • 정확한 값인가요? 완전제곱수가 아니면 이 과정을 계속 반복할 수 있습니다. 계산한 마지막 자리까지는 반올림하지 않고 차례로 구한 값입니다.

    개평법 시뮬레이션

    자연수를 입력하고 소수점 아래 몇 자리까지 구할지 정한 뒤, ‘다음 단계’를 눌러 한 자리씩 계산해 보세요.

    나눗셈과 비슷한 세로셈

    윗줄: 구한 제곱근 빨간 수: 곱해서 뺄 값 밑줄 친 두 자리: 내려온 묶음

    단계별 원리 확인

    개평법은 계산기의 소수값을 외우는 방법이 아닙니다. 제곱근의 다음 한 자리를 결정할 때마다 실제로 제곱하여 넘지 않는 가장 큰 값을 선택하는 알고리즘입니다.
    07

    증명과 생활 속 제곱근

    무리수가 필요한 이유와 넓이의 변화 속에 숨어 있는 제곱근을 살펴봅니다.

    왜 \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아닐까요?

    \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\)이고 \(\dfrac{p}{q}\)가 기약분수라고 가정합니다. 양변을 제곱하면 \(p^2=2q^2\)이므로 \(p\)는 짝수입니다.

    \[ \begin{aligned} p&=2k\\ p^2=2q^2&\;\Longrightarrow\;4k^2=2q^2\\ &\;\Longrightarrow\;q^2=2k^2 \end{aligned} \]

    따라서 \(q\)도 짝수입니다. \(p\)와 \(q\)가 모두 짝수라는 결론은 처음에 기약분수라고 한 가정과 모순이므로 \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아닙니다.

    복사기 배율과 \(\sqrt2\)의 비밀: A용지와 B용지

    복사기에서 A4를 A3로 확대할 때는 왜 \(141.4\%\)를 누를까요? A4를 B4로 확대할 때는 왜 \(122.4\%\)를 누를까요? 이 수들은 종이의 닮음비와 넓이비의 제곱근에서 나옵니다.

    1. 종이의 기본 비율은 \(1:\sqrt2\)

    종이의 짧은 변을 \(x\), 긴 변을 \(y\)라고 합시다. 긴 변을 반으로 접은 뒤에도 원래 종이와 닮은 모양이 되려면 원래 종이와 접은 종이의 가로세로비가 같아야 합니다.

    \[ \begin{aligned} x:y&=\frac y2:x\\ x^2&=\frac{y^2}{2}\\ y^2&=2x^2\\ \frac yx&=\sqrt2 \end{aligned} \]

    따라서 긴 변과 짧은 변의 비는 항상 \(\sqrt2:1\)입니다. A계열과 B계열은 모두 이 비율을 사용하므로 한 장을 반으로 접어도 같은 계열의 다음 번호 용지가 됩니다.

    2. DIN/ISO B계열과 JIS B계열은 다릅니다

    독일공업규격 DIN 476에서 시작한 A·B계열은 현재 국제규격 ISO 216으로 이어졌습니다. 일본공업규격 JIS P 0138의 A계열은 ISO A계열과 같지만, JIS B계열은 DIN/ISO B계열보다 조금 큽니다. 한국의 복사용지와 복사기에서 흔히 만나는 B4·B5는 JIS B계열입니다.

    구분 DIN/ISO B계열 JIS B계열
    B4 \(250\times353\text{ mm}\) \(257\times364\text{ mm}\)
    B5 \(176\times250\text{ mm}\) \(182\times257\text{ mm}\)
    B0의 기준 넓이 \(\sqrt2\text{ m}^2\) \(1.5\text{ m}^2\)
    같은 번호 \(B:A\) 넓이비 \(\sqrt2:1\) \(1.5:1\)
    A4→B4 길이 배율 \(\sqrt{\sqrt2}\approx118.9\%\) \(\sqrt{1.5}\approx122.4\%\)

    A4는 두 규격 모두 \(210\times297\text{ mm}\)입니다. 용지의 변 길이는 밀리미터 단위로 반올림하므로 실제 치수로 계산한 값에는 작은 차이가 생길 수 있습니다.

    3. 복사기 배율은 넓이비가 아니라 길이비입니다

    복사기에서 \(141.4\%\)는 넓이를 \(141.4\%\)로 만든다는 뜻이 아닙니다. 원본의 가로와 세로를 각각 \(1.414\)배 한다는 뜻입니다. 원본 넓이를 \(S\), 복사할 용지의 넓이를 \(T\), 길이 배율을 \(m\)이라고 하면 닮은 도형의 넓이는 길이 배율의 제곱에 따라 변합니다.

    \[ \begin{aligned} T&=m^2S\\ m&=\sqrt{\frac TS}\\ \text{복사기 배율}&=100m\% \end{aligned} \]

    4. 같은 계열에서 한 단계 확대·축소

    확대: A4→A3, A5→A4, B5→B4

    목표 용지의 넓이는 원본의 \(2\)배입니다.

    \[ m=\sqrt2\approx1.414 \]

    복사기 배율 \(141.4\%\)

    축소: A3→A4, A4→A5, B4→B5

    목표 용지의 넓이는 원본의 \(\frac12\)배입니다.

    \[ m=\sqrt{\frac12} =\frac1{\sqrt2}\approx0.707 \]

    복사기 배율 \(70.7\%\)

    5. 같은 번호의 A↔JIS B 복사

    JIS B4의 넓이는 A4의 \(1.5\)배이고, JIS B5의 넓이는 A5의 \(1.5\)배입니다. 따라서 한국 복사기에서 보는 \(122.4\%\)와 \(81.6\%\)가 나옵니다.

    확대: A4→B4, A5→B5

    \[ m=\sqrt{1.5} =\sqrt{\frac32} \approx1.2247 \]

    복사기 배율 \(122.4\%\)

    축소: B4→A4, B5→A5

    \[ m=\sqrt{\frac1{1.5}} =\sqrt{\frac23} \approx0.8165 \]

    복사기 배율 \(81.6\%\)

    6. JIS B용지와 한 단계 큰 A용지 사이의 복사

    A4의 넓이를 \(1\)이라고 하면 JIS B4의 넓이는 \(1.5\), A3의 넓이는 \(2\)입니다. 따라서 B4와 A3 사이의 넓이비는 \(1.5:2=3:4\)입니다. B5와 A4 사이에서도 같은 비가 성립합니다.

    확대: B4→A3, B5→A4

    \[ m=\sqrt{\frac2{1.5}} =\sqrt{\frac43} =\frac2{\sqrt3} \approx1.1547 \]

    복사기 배율 \(115.4\%\)

    축소: A3→B4, A4→B5

    \[ m=\sqrt{\frac{1.5}{2}} =\sqrt{\frac34} =\frac{\sqrt3}{2} \approx0.8660 \]

    복사기 배율 \(86.6\%\)

    복사기 기종에 따라 마지막 값이 \(86.5\%\) 또는 \(86.6\%\)로 표시될 수 있습니다. 이는 표준 용지의 실제 밀리미터 치수와 기기의 반올림 방식 차이 때문입니다.

    7. 같은 계열에서 두 단계 건너뛰기

    확대: A4→A2, A5→A3

    넓이는 \(4\)배가 되므로 길이는 \(\sqrt4=2\)배입니다.

    복사기 배율 \(200\%\)

    축소: A3→A5, A2→A4

    넓이는 \(\frac14\)배가 되므로 길이는 \(\sqrt{\frac14}=\frac12\)배입니다.

    복사기 배율 \(50\%\)

    배율 길이 배율의 정확한 값 대표적인 용지 변환
    \(141.4\%\) \(\sqrt2\) A4→A3, B5→B4
    \(122.4\%\) \(\sqrt{\frac32}\) A4→JIS B4
    \(115.4\%\) \(\sqrt{\frac43}\) JIS B4→A3
    \(86.6\%\) \(\sqrt{\frac34}\) A3→JIS B4
    \(81.6\%\) \(\sqrt{\frac23}\) JIS B4→A4
    \(70.7\%\) \(\frac1{\sqrt2}\) A3→A4, B4→B5
    \(200\%\) \(2\) A4→A2
    \(50\%\) \(\frac12\) A3→A5
    복사기 버튼의 복잡해 보이는 소수 배율은 임의의 수가 아닙니다. 모두 용지 넓이비의 제곱근에서 나온 값이며, \(122.4\%\)와 \(81.6\%\)는 JIS B계열의 \(1.5:1\) 넓이비를 반영합니다.

    카메라 조리개 수치와 \(\sqrt2\)

    카메라에서는 조리개 구멍의 넓이를 절반으로 줄이는 한 단계를 한 스톱이라고 합니다. 조리개 수치가 \(1,\;1.4,\;2,\;2.8,\;4,\;5.6,\dots\)처럼 변하는 이유를 원의 넓이와 비례식을 이용하여 증명해 봅시다.

    1. 조건을 문자로 나타내기

    • 이전 조리개 구멍의 지름을 \(d\), 한 스톱 조인 뒤의 지름을 \(d'\)라고 합니다.
    • 두 지름은 길이이므로 \(d>0\), \(d'>0\)입니다.
    • 한 스톱 조이면 원의 넓이는 이전 넓이의 \(\frac12\)이 됩니다.
    • 같은 렌즈에서 조리개 수치 \(n\)은 지름 \(d\)에 반비례하므로 두 수의 곱 \(nd\)는 일정합니다.

    2. 한 스톱 조였을 때 지름의 변화

    지름이 \(d\)인 원과 \(d'\)인 원의 넓이를 비교합니다. 한 스톱 뒤의 넓이가 절반이라는 조건을 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

    \[ \begin{aligned} \pi\left(\frac{d'}2\right)^2 &=\frac12\pi\left(\frac d2\right)^2\\ d'^2&=\frac12d^2\\ d'&=\frac d{\sqrt2} \end{aligned} \]

    지름은 양수이므로 양의 제곱근을 택합니다. 따라서 원의 넓이를 절반으로 만들려면 지름을 \(\frac1{\sqrt2}\)배 해야 합니다.

    3. 조리개 수치의 변화 증명하기

    한 스톱 전후의 조리개 수치를 각각 \(n\), \(n'\)라고 합시다. 조리개 수치와 지름의 곱이 일정하므로 \(nd=n'd'\)입니다. 여기에 \(d'=\frac d{\sqrt2}\)를 대입합니다.

    \[ \begin{aligned} nd&=n'd'\\ nd&=n'\frac d{\sqrt2}\\ n'&=\sqrt2\,n \end{aligned} \]

    따라서 한 스톱 조일 때마다 다음 조리개 수치는 이전 수치의 정확히 \(\sqrt2\)배가 됩니다.

    4. 조리개 수열 만들기

    단계 정확한 값 표시값 원의 넓이
    0 \(1\) \(1\) \(1\)
    1 \(\sqrt2\) \(1.4\) \(\frac12\)
    2 \(2\) \(2\) \(\frac14\)
    3 \(2\sqrt2\) \(2.8\) \(\frac18\)
    4 \(4\) \(4\) \(\frac1{16}\)
    5 \(4\sqrt2\) \(5.6\) \(\frac1{32}\)

    표시값은 실제 사용을 위해 반올림한 수입니다. 같은 규칙을 계속 적용하면 \(8,\;11,\;16,\;22,\dots\)가 이어집니다.

    5. \(2\)에서 \(2.8\)로 변하는 경우 확인

    \[ \begin{aligned} \frac{d'}d &=\frac{2}{2\sqrt2} =\frac1{\sqrt2}\\ \frac{A'}A &=\left(\frac{d'}d\right)^2 =\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2 =\frac12 \end{aligned} \]

    즉, 조리개 수치를 \(2\)에서 \(2.8\approx2\sqrt2\)로 바꾸면 원의 넓이가 절반이 됩니다. 이 수열은 원의 넓이를 매 단계 절반으로 만드는 수학적 규칙에서 나온 것입니다.

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