수학시간

수와 연산 · 유리수와 소수

유리수의 소수 표현

분수를 소수로 나타내면 끝나는 소수가 되기도 하고 일정한 숫자가 반복되기도 합니다. 기약분수의 분모와 소수 표현 사이의 규칙을 찾아봅시다.

  • 유한소수와 순환소수를 구별하고 유리수와의 관계를 설명할 수 있다.
  • 기약분수의 분모로 유한소수 여부를 판단할 수 있다.
  • 순환소수를 분수로 나타내고 변환 원리를 설명할 수 있다.
01

유한소수와 무한소수

소수점 아래의 전개가 끝나는지, 끝없이 이어지는지에 따라 나눕니다.

유한소수

소수점 아래의 숫자가 유한한 자리에서 끝나는 소수입니다.

\(\dfrac12=0.5\), \(\dfrac34=0.75\)

무한소수

소수점 아래의 숫자가 끝없이 이어지는 소수입니다.

\(\dfrac13=0.333\dots\), \(\pi=3.14159\dots\)
무한소수가 모두 유리수인 것은 아닙니다. 일정한 숫자 배열이 반복되는 순환소수는 유리수이지만, \(\pi\)처럼 반복되지 않는 무한소수는 유리수가 아닙니다.
소수
유한소수 소수점 아래의 숫자가 유한한 소수
유리수
무한소수 소수점 아래의 숫자가 끝없이 이어지는 소수
순환소수 일정한 숫자 배열이 반복됨
유리수
순환하지 않는 무한소수 일정한 숫자 배열이 반복되지 않음
무리수
02

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

먼저 기약분수로 만든 뒤 분모를 소인수분해합니다.

판별 기준

기약분수의 분모의 소인수가 \(2\)와 \(5\)뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

유한소수 \(\dfrac3{20}=\dfrac3{2^2\times5}=0.15\)
순환소수 \(\dfrac1{60}=\dfrac1{2^2\times3\times5}\)
분모에 \(3\)이 있습니다.
왜 \(2\)와 \(5\)일까요? 유한소수는 분모를 \(10\), \(100\), \(1000\), …처럼 \(10\)의 거듭제곱으로 만들 수 있는 분수입니다. \(10=2\times5\)이므로 기약분수의 분모에는 \(2\)와 \(5\)만 남아야 합니다.

유한소수 판별 연습

분수를 기약분수로 만든 뒤 분모를 살펴보세요.

03

순환소수와 순환마디

일정한 숫자 배열이 끝없이 반복되는 무한소수입니다.

순환마디 표시

반복되는 가장 짧은 숫자 배열을 순환마디라고 합니다. 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타냅니다.

한 자리 반복 \(\dfrac13=0.333\dots=0.\dot{3}\)

순환마디: \(3\)

두 자리 반복 \(\dfrac3{11}=0.272727\dots=0.\dot{2}\dot{7}\)

순환마디: \(27\)

세 자리 반복 \(\dfrac{125}{999}=0.125125\dots=0.\dot{1}2\dot{5}\)

순환마디: \(125\)

순환이 바로 시작하지 않을 수도 있습니다. \(\dfrac16=0.1666\dots=0.1\dot{6}\)에서 \(1\)은 반복되지 않는 부분이고, 순환마디는 \(6\)입니다.
04

순환소수를 분수로 나타내기

순환마디를 맞춘 두 식을 빼면 반복되는 소수 부분이 사라집니다.

순환이 바로 시작하는 경우

\(x=0.232323\dots\)로 놓고 순환마디 두 자리만큼 \(100\)을 곱합니다.

\[ \begin{aligned} x&=0.232323\dots\\ 100x&=23.232323\dots\\ 100x-x&=23.232323\dots-0.232323\dots\\ 99x&=23\\ x&=\dfrac{23}{99} \end{aligned} \]

순환하지 않는 부분이 있는 경우

\(x=0.1666\dots\)에서는 반복 부분이 맞도록 \(100x\)와 \(10x\)를 뺍니다.

\[ \begin{aligned} 100x&=16.666\dots\\ 10x&=1.666\dots\\ 100x-10x&=16.666\dots-1.666\dots\\ 90x&=15\\ x&=\dfrac{15}{90}=\dfrac16 \end{aligned} \]
빠르게 확인하는 공식
\(0.\dot{a}\dot{b}=\dfrac{ab}{99}\)
\(0.a\dot{b}=\dfrac{ab-a}{90}\)

분모에는 순환하는 자리 수만큼 \(9\), 순환하지 않는 자리 수만큼 \(0\)을 씁니다. 분자는 ‘소수점 아래 전체 수 − 순환하지 않는 부분의 수’로 구합니다.

05

분수의 소수 표현 실험

양수와 음수 분수를 입력하여 기약분수, 소수 종류, 순환마디를 확인하세요.

분수를 소수로 변환하기

분자와 분모는 \(-999\) 이상 \(999\) 이하의 정수이며 분모는 \(0\)이 될 수 없습니다.

기약분수
소수 종류
분모 분석

06

끝없이 이어지는 소수 이야기

무한소수의 등식과 순환마디가 만드는 규칙을 살펴봅니다.

왜 \(0.999\dots=1\)일까요?

두 수 사이에 다른 수가 들어갈 틈이 없으며, 방정식으로도 같은 값임을 확인할 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} x&=0.999\dots\\ 10x&=9.999\dots\\ 10x-x&=9.999\dots-0.999\dots\\ 9x&=9\\ x&=1 \end{aligned} \]

순환수 \(142857\)

\(\dfrac17=0.\dot{1}4285\dot{7}\)의 순환마디에 \(1\)부터 \(6\)까지 곱하면 숫자의 순서가 회전합니다.

  • 1 × 142857 = 142857
  • 2 × 142857 = 285714
  • 3 × 142857 = 428571
  • 4 × 142857 = 571428
  • 5 × 142857 = 714285
  • 6 × 142857 = 857142
위키백과에서 \(0.999\dots\) 더 알아보기 → 위키백과에서 순환수 더 알아보기 →