수학시간

수와 연산 · 수 체계의 확장

정수와 유리수

자연수에 \(0\)과 음수를 더해 정수를 만들고, 분수로 나타낼 수 있는 수까지 범위를 넓혀 봅시다. 수직선에서 수의 위치·절댓값·대소 관계를 직접 확인할 수 있습니다.

  • 정수와 유리수의 포함 관계를 설명할 수 있다.
  • 수직선에서 수와 절댓값을 나타낼 수 있다.
  • 양수·음수의 대소 관계를 비교할 수 있다.
01

정수의 세 부분

양의 정수, \(0\), 음의 정수를 모두 합쳐 정수라고 합니다.

양의 정수

\(0\)보다 큰 정수입니다. 양의 부호 \(+\)는 보통 생략하여 \(+3\)을 \(3\)으로 씁니다.

\(+1,+2,+3,\dots\)

0

양수도 음수도 아닌 기준이 되는 수입니다. 수직선의 원점에 놓입니다.

\(0\)

음의 정수

\(0\)보다 작은 정수입니다. 온도·층수·변화량처럼 기준보다 낮은 양을 나타냅니다.

\(-1,-2,-3,\dots\)

부호와 연산 기호를 구분하세요 \(-3\)의 \(-\)는 수의 부호이고, \(5-3\)의 \(-\)는 두 수를 빼는 연산 기호입니다.
02

유리수와 수의 분류

정수는 유리수 안에 포함됩니다.

두 정수 \(a,b\)에 대하여 \(\frac{a}{b}\) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 합니다. 단, 분모 \(b\)는 \(0\)이 될 수 없습니다.

유리수 \(\frac{a}{b}\) 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수 · \(a,b\)는 정수, \(b\ne0\)
정수 양의 정수, \(0\), 음의 정수로 이루어진 수의 모임
양의 정수
\(1,2,3,\dots\) \(0\) 음의 정수
\(-1,-2,-3,\dots\)
정수가 아닌 유리수 유리수 중에서 정수가 아닌 수
분수
\(\frac12\) 유한소수
\(-0.7\) 순환소수
\(0.\overline{3}\)

정수도 분수로

\(3=\frac{3}{1}\), \(-5=\frac{-5}{1}\)이므로 모든 정수는 유리수입니다.

유한소수도 분수로

\(-0.7=\frac{-7}{10}\)처럼 유한소수는 분수로 나타낼 수 있습니다.

0도 유리수

\(0=\frac{0}{1}\)이므로 \(0\) 역시 정수이면서 유리수입니다.

03

수직선과 절댓값 실험

절댓값은 원점 \(0\)에서 그 수를 나타내는 점까지의 거리입니다.

\(-5\) 이상 \(5\) 이하의 수를 \(0.5\) 간격으로 입력해 보세요. 파란 선은 원점에서 현재 위치까지의 거리를 나타냅니다.

+3
현재 위치 +3
절댓값 3
반대 부호의 수 -3
절댓값의 성질 절댓값은 거리이므로 음수가 될 수 없습니다. \(a\ne0\)이면 \(a\)와 \(-a\)의 절댓값은 같고, \(0\)의 절댓값은 \(0\)입니다.
04

대소 비교 연습

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다.

부등호 표현

\(a\gt b\) \(a\)는 \(b\)보다 크다 · 초과
\(a\lt b\) \(a\)는 \(b\)보다 작다 · 미만
\(a\ge b\) \(a\)는 \(b\)보다 크거나 같다 · 이상
\(a\le b\) \(a\)는 \(b\)보다 작거나 같다 · 이하

두 수 사이에 들어갈 알맞은 부등호를 선택하세요.

-3 ? 2

수직선의 위치를 떠올려 보세요.

음수끼리 비교할 때 \(-8\lt-3\)입니다. 음수에서는 절댓값이 큰 수가 원점에서 더 왼쪽에 있으므로 더 작습니다.
05

생활 속에서 만나는 정수

정수는 기준보다 위·아래 또는 증가·감소를 간단하게 표현합니다.

온도

기온이 \(3^\circ\mathrm{C}\)에서 \(5^\circ\mathrm{C}\) 내려가면 \(-2^\circ\mathrm{C}\)가 됩니다.

층수와 높이

지상을 \(0\)으로 보면 지하 2층은 \(-2\), 지상 4층은 \(+4\)로 나타낼 수 있습니다.

변화량

점수가 \(6\)점 늘면 \(+6\), \(4\)점 줄면 \(-4\)처럼 변화의 방향을 함께 기록합니다.

숫자 \(0\)과 음수는 왜 필요했을까?

‘아무것도 없음’을 나타내는 \(0\), 기준보다 낮거나 반대 방향을 나타내는 음수는 계산의 범위를 넓혔습니다. 덕분에 \(3-5=-2\)처럼 자연수만으로는 나타낼 수 없던 계산도 하나의 수 체계 안에서 설명할 수 있습니다.

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