수학시간

수와 연산 · 자연수의 성질

소수와 소인수분해

자연수를 이루는 기본 재료인 소수를 이해하고, 한 수를 소인수들의 곱으로 나타내는 방법을 익혀 봅시다. 개념을 읽은 뒤 실험 도구로 직접 확인할 수 있습니다.

  • 소수와 합성수를 구별할 수 있다.
  • 거듭제곱의 밑과 지수를 설명할 수 있다.
  • 소인수분해를 이용해 약수를 구할 수 있다.

소수와 합성수

약수의 개수를 기준으로 자연수를 분류합니다.

소수

1보다 큰 자연수 중에서 약수가 \(1\)과 자기 자신뿐인 수입니다. 예: \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)

합성수

\(1\)보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수입니다. 약수가 세 개 이상입니다. 예: \(6=2\times3\), \(12=3\times4\)

실험 1 · 에라토스테네스의 체

\(1\)부터 \(50\)까지의 수에서 \(2, 3, 5, 7\)의 배수를 차례로 지워 보세요. 어떤 합성수도 이 네 수 중 하나의 배수이므로 소수만 남습니다.

소수 지운 합성수

실험 2 · 소수 판별기

자연수를 입력하면 소수인지 합성수인지 확인할 수 있습니다.

거듭제곱

같은 수를 여러 번 곱한 식을 간단히 나타냅니다.

\(2\times2\times2=2^3\)

\(2\)는 밑, \(3\)은 지수입니다. 밑은 곱하는 수이고, 지수는 그 수가 곱해진 횟수입니다.

\(2^2\): 2의 제곱 · \(2^3\): 2의 세제곱 · \(2^4\): 2의 네제곱

읽을거리 · 거듭제곱으로 나타내는 크고 작은 수

접을 때마다 두 배

두께가 \(0.1\text{ mm}\)인 종이를 접을 때마다 두께가 두 배가 된다고 생각해 봅시다. \(42\)번 접은 두께를 계산하면 \(0.1\text{ mm}\times2^{42}\)로, 약 \(439{,}805\text{ km}\)입니다.

\(2^{100}\)의 크기

\(2^{100}=1{,}267{,}650{,}600{,}228{,}229{,}401{,}496{,}703{,}205{,}376\)입니다. 거듭제곱은 반복 횟수가 늘어날수록 매우 빠르게 커집니다.

우주처럼 큰 규모

관측 가능한 우주의 지름은 약 \(8.8\times10^{26}\text{ m}\)로 나타낼 수 있습니다. 긴 수를 간결하게 쓰고 자릿수를 파악하기에도 좋습니다.

원자처럼 작은 규모

수소 원자의 반지름은 약 \(0.000000000053\text{ m}\)입니다. 거듭제곱을 이용하면 \(5.3\times\dfrac{1}{10^{11}}\text{ m}\)로 나타낼 수 있습니다.

소인수분해

합성수를 소수들의 곱으로 끝까지 분해합니다.

인수와 소인수

\(a=b\times c\)일 때 \(b, c\)는 \(a\)의 인수입니다. 이 가운데 소수인 인수를 소인수라고 합니다.

소인수분해

\(1\)보다 큰 자연수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것입니다. 예: \(12=2^2\times3\)

실험 3 · 소인수분해 과정

수를 입력하면 가장 작은 소인수부터 차례로 분해합니다.

자연수를 입력하고 ‘분해 시작’을 누르세요.

소인수분해를 이용한 약수 구하기

각 소인수의 지수를 선택하여 모든 약수를 만들 수 있습니다.

\(N=A^m\times B^n\)이고 \(A, B\)가 서로 다른 소수라면, 약수를 만들 때 \(A\)의 지수는 \(0\)부터 \(m\)까지, \(B\)의 지수는 \(0\)부터 \(n\)까지 선택할 수 있습니다.

약수의 개수 \(=(m+1)\times(n+1)\)

일반적으로 \(N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\)이면 약수의 개수는 \((a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)\)입니다.

표로 \(12\)의 약수 만들기

\(12=2^2\times3\)입니다. \(1,2,2^2\) 중 하나와 \(1,3\) 중 하나를 골라 곱하면 모든 약수를 얻습니다.

\(12=2^2\times3\)의 약수 만들기
\(\times\) \(1\) \(2\) \(2^2\)
\(1\) \(1\times1=1\) \(1\times2=2\) \(1\times2^2=4\)
\(3\) \(3\times1=3\) \(3\times2=6\) \(3\times2^2=12\)

더 생각해 보기 · 소수에 관한 질문

1. 소수는 끝이 있을까?

유클리드는 소수가 무한히 많다는 사실을 다음과 같은 생각으로 설명했습니다.

모든 소수를 빠짐없이 적었다고 가정해 봅시다.
  1. 그 목록의 모든 소수를 곱한 뒤 \(1\)을 더해 새로운 수 \(N\)을 만듭니다.
  2. \(N\)을 목록에 있는 어떤 소수로 나누어도 나머지가 \(1\)입니다.
  3. 따라서 \(N\)은 새로운 소수이거나, 목록에 없는 소수를 인수로 가집니다.
  4. ‘모든 소수를 적었다’는 가정과 모순이므로 소수는 무한히 많습니다.

2. 쌍둥이 소수

(\(3,5\)), (\(11,13\)), (\(17,19\))처럼 차이가 \(2\)인 두 소수의 쌍입니다. 이런 쌍이 무한히 많은지는 아직 증명되지 않았습니다.

3. 골드바흐의 추측

“\(2\)보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.”라는 추측입니다. 예를 들어 \(10=3+7\), \(100=3+97\)이지만, 모든 경우에 성립한다는 완전한 증명은 아직 없습니다.

4. 메르센 소수와 GIMPS

메르센 소수는 \(2^p-1\) 꼴의 소수입니다. GIMPS는 여러 컴퓨터가 계산을 나누어 새로운 메르센 소수를 찾는 공개 공동 연구 프로젝트입니다.

골드바흐의 추측 메르센 소수 GIMPS 공식 홈페이지