수학시간

고등학교 연결 학습 · 평면벡터와 공간도형

크기와 방향을 식으로 나타내는 벡터

벡터는 이동을 나타내는 화살표에서 출발해 좌표 계산, 내적, 직선과 평면의 방정식으로 이어집니다. 그림과 성분 계산을 함께 보며 기하적 의미를 연결해 보세요.

  1. 벡터의 뜻
  2. 벡터의 연산
  3. 위치벡터
  4. 성분과 내적
  5. 공간도형

1벡터의 뜻 평면벡터

크기와 방향

크기와 방향을 함께 가지는 양을 벡터라고 합니다. 점 \(\mathrm{A}\)를 시점, 점 \(\mathrm{B}\)를 종점으로 하는 벡터는 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)로 나타냅니다.

\(\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\mathrm{AB}\) 벡터의 크기 \(=\) 선분 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이

같은 벡터

시점의 위치가 달라도 크기와 방향이 같으면 두 벡터는 같습니다. 크기가 \(0\)인 벡터를 영벡터 \(\vec{0}\), 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 역벡터라고 합니다.

  • \(\vec{a}=\vec{b}\): 크기와 방향이 모두 같음
  • \(-\vec{a}\): \(\vec{a}\)의 역벡터
  • \(\left|\vec{0}\right|=0\)

2벡터의 연산 평면벡터

벡터의 덧셈은 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어 붙이거나, 두 벡터가 만드는 평행사변형의 대각선으로 나타냅니다.

덧셈 \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
실수배 \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\) \((k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}\)
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)이며, 두 벡터의 시점이 같을 때 \(\vec{a}-\vec{b}\)는 \(\vec{b}\)의 종점에서 \(\vec{a}\)의 종점으로 향합니다.

벡터의 덧셈과 뺄셈

성분 계산 \(\vec{a}=(3,1)\) \(\vec{b}=(-2,2)\) \(\vec{a}+\vec{b}=(1,3)\)

갈색점과 파란점을 드래그하면 정수 격자에 맞춰집니다. 두 벡터의 성분과 결과 벡터를 비교하세요.

3위치벡터와 내분점 평면벡터

원점 \(\mathrm{O}\)를 시점으로 하는 벡터를 위치벡터라고 합니다. 점 \(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}\)의 위치벡터를 각각 \(\vec{a},\vec{b},\vec{p}\)라 하겠습니다.

내분점 \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n\) \(\displaystyle \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)
외분점 \(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n\) \(\displaystyle \vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\) \(m\ne n\)
중점 \(\displaystyle \vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

내분비와 위치벡터

2
1
내분 결과 \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1\) \(\vec{p}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}\)

\(m\)이 커질수록 점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{B}\)에 가까워지고, \(n\)이 커질수록 점 \(\mathrm{A}\)에 가까워집니다.

4벡터의 성분과 내적 평면·공간벡터

성분 표시

\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)일 때 벡터의 크기는 피타고라스 정리를 공간으로 확장해 구합니다.

\(\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

내적

영벡터가 아닌 두 벡터가 이루는 각을 \(\theta\)라 하면 내적은 다음과 같습니다.

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
각의 범위내적의 부호기하적 의미
\(0^\circ\le\theta<90^\circ\)\(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)같은 방향 또는 예각
\(\theta=90^\circ\)\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)두 벡터가 수직
\(90^\circ<\theta\le180^\circ\)\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)둔각 또는 반대 방향

두 벡터가 이루는 각과 내적

60°
내적 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=12\cos60^\circ=6\) 양수이므로 두 벡터가 이루는 각은 예각입니다.

\(|\vec{a}|=4\), \(|\vec{b}|=3\)으로 고정하고 각을 바꾸어 내적의 부호를 비교합니다.

5벡터로 공간도형 나타내기 공간도형

직선의 방정식

점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\)을 지나고 방향벡터가 \(\vec{u}=(a,b,c)\)인 직선은 매개변수 \(t\)를 이용해 나타내는 것이 가장 일반적입니다.

\(\vec{x}=\vec{a}+t\vec{u}\) \(x=x_1+at,\ y=y_1+bt,\ z=z_1+ct\)

\(a,b,c\)가 각각 \(0\)이 아닐 때에만 \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\)와 같은 대칭형을 그대로 쓸 수 있습니다.

평면의 방정식

점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n}=(a,b,c)\)인 평면 위의 점 \(\mathrm{P}(x,y,z)\)는 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp\vec{n}\)을 만족합니다.

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0\) \(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)

점과 평면 사이의 거리

\(\displaystyle h=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

점은 \(\mathrm{P}(x_1,y_1,z_1)\), 평면은 \(ax+by+cz+d=0\)입니다.

구와의 연결

중심의 위치벡터가 \(\vec{c}\), 구 위의 점의 위치벡터가 \(\vec{p}\)일 때 구는 한 줄로 표현됩니다.

\(|\vec{p}-\vec{c}|=r\) \((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2\)

6스스로 확인하기

1. \(\vec{a}=(3,-1)\), \(\vec{b}=(-2,4)\)일 때 \(\vec{a}+\vec{b}\)를 구하세요.

2. \(\mathrm{A}(1,2)\), \(\mathrm{B}(7,5)\)이고 \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는?

3. \(\vec{a}=(1,2,2)\), \(\vec{b}=(2,1,-2)\)일 때 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)를 구하세요.

4. 점 \(\mathrm{A}(1,-1,2)\)를 지나고 법선벡터가 \(\vec{n}=(2,1,-1)\)인 평면의 방정식을 구하세요.