수학시간

고등학교 연결 학습 · 공간도형과 공간좌표

평면에서 공간으로

공간에서의 수직 관계, 정사영, 좌표와 구의 방정식을 하나의 흐름으로 연결합니다. 그림을 회전하며 각 조건이 어느 평면과 직선에 관한 것인지 확인해 보세요.

  1. 삼수선 정리
  2. 정사영
  3. 공간좌표
  4. 구의 방정식

1삼수선 정리 공간도형

평면 α 밖의 점 \(\mathrm{P}\)에서 평면에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{O}\), 평면 위의 직선 \(l\)에 \(\overline{\mathrm{OH}}\)가 수직으로 만나도록 잡은 점을 \(\mathrm{H}\)라 하겠습니다.

  1. \(\overline{\mathrm{PO}}\perp α\), \(\overline{\mathrm{OH}}\perp l\)이면 \(\overline{\mathrm{PH}}\perp l\)입니다.
  2. \(\overline{\mathrm{PO}}\perp α\), \(\overline{\mathrm{PH}}\perp l\)이면 \(\overline{\mathrm{OH}}\perp l\)입니다.
  3. \(\overline{\mathrm{PH}}\perp l\), \(\overline{\mathrm{OH}}\perp l\), \(\overline{\mathrm{PO}}\perp \overline{\mathrm{OH}}\)이면 \(\overline{\mathrm{PO}}\perp α\)입니다.
관찰 핵심: 직선 \(l\)에 수직인 두 선분 \(\overline{\mathrm{OH}}\), \(\overline{\mathrm{PH}}\)가 만드는 평면을 생각하면 공간의 수직 관계를 평면 안의 관계로 바꿔 볼 수 있습니다.

삼수선 정리의 공간 배치

제1정리의 조건 \(\overline{\mathrm{PO}}\perpα\) \(\overline{\mathrm{OH}}\perp l\) 결론 \(\overline{\mathrm{PH}}\perp l\)

그림을 좌우 또는 위아래로 드래그해 시점을 회전할 수 있습니다. 직각 표시는 실제 공간 관계를 나타냅니다.

2정사영 공간도형

선분의 정사영

선분 \(\overline{\mathrm{AB}}\)와 투영면이 이루는 각을 \(θ\), 선분의 길이를 \(l\)이라 하면 정사영의 길이 \(l'\)은 다음과 같습니다.

\(\displaystyle l'=l\cosθ\) \(0\leθ\le\frac{π}{2}\)

평면도형의 정사영

도형이 놓인 평면과 투영면이 이루는 각을 \(θ\), 도형의 넓이를 \(S\)라 하면 정사영의 넓이 \(S'\)은 다음과 같습니다.

\(\displaystyle S'=S\cosθ\) \(0\leθ\le\frac{π}{2}\)
두 공식의 모양은 같지만 \(θ\)의 의미가 다릅니다. 길이에서는 선분과 평면이 이루는 각, 넓이에서는 두 평면이 이루는 각입니다.

기울기에 따른 정사영

45°
정사영의 비 \(\cos45^\circ\approx0.707\) 원래 넓이의 약 70.7%

각도 슬라이더를 움직여 정사영의 폭과 넓이를 비교하고, 그림을 드래그해 공간 배치를 확인하세요.

3공간좌표와 내분점 공간좌표

공간의 점은 세 좌표의 순서쌍 \((x,y,z)\)로 나타냅니다. 두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)\) 사이의 거리는 세 좌표 차를 이용합니다.

두 점 사이의 거리 \(\displaystyle \mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)

선분 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 내분점

\(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)는 \(\mathrm{A}\)에서 \(\mathrm{B}\) 쪽으로 전체의 \(\frac{m}{m+n}\)만큼 이동한 점입니다.

\(\displaystyle x_{\mathrm{P}}=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}\) \(\displaystyle y_{\mathrm{P}}=\frac{ny_1+my_2}{m+n}\) \(\displaystyle z_{\mathrm{P}}=\frac{nz_1+mz_2}{m+n}\)

내분비에 따른 점 \(\mathrm{P}\)의 위치

1 : 1
좌표 \(\mathrm{A}(-4,4,-2),\ \mathrm{B}(6,-2,4)\) \(\mathrm{P}(1,1,1)\)

내분비를 바꾸면 점 \(\mathrm{P}\)가 선분 위에서 이동합니다. 그림을 드래그하면 세 좌표축의 방향을 확인할 수 있습니다.

4구의 방정식 공간좌표

한 점 \(\mathrm{C}(a,b,c)\)로부터 거리가 \(r\)인 공간의 점 \(\mathrm{P}(x,y,z)\)의 자취가 구입니다. 거리 공식의 양변을 제곱하면 표준형을 얻습니다.

\(\mathrm{CP}=r\) \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

일반형에서 중심과 반지름 찾기

\(\displaystyle x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0\) \(\displaystyle \mathrm{C}\left(-\frac A2,-\frac B2,-\frac C2\right)\) \(\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2+C^2}{4}-D}\)

실제 구가 되려면 근호 안의 값이 양수여야 합니다. 값이 \(0\)이면 한 점만 나타냅니다.

반지름에 따른 구의 변화

3
구의 방정식 \(x^2+y^2+z^2=9\)

반지름을 바꾸거나 그림을 드래그해 구의 중심, 반지름, 세 좌표축의 관계를 확인하세요.

5스스로 확인하기

1. \(\overline{\mathrm{PO}}\perpα\), \(\overline{\mathrm{OH}}\perp l\)일 때 삼수선 정리로 알 수 있는 관계는?

2. 넓이가 \(20\)인 평면도형과 투영면이 이루는 각이 \(60^\circ\)일 때 정사영의 넓이는?

3. \(\mathrm{A}(0,0,0)\), \(\mathrm{B}(6,3,-3)\)이고 \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는?

4. 중심이 \(\mathrm{C}(1,-2,3)\)이고 반지름이 \(4\)인 구의 방정식은?