MATH TIME
MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.
필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.
중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.
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생각하는 힘을 기르는 수학
어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.
오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.
“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”
고등학교 연결 학습 · 해석기하
이차곡선
포물선·타원·쌍곡선은 거리 조건으로 정의되며, 원뿔을 평면으로 자를 때 나타나는 원뿔곡선입니다. 정의와 표준형을 연결하여 곡선의 모양과 성질을 이해해 봅시다.
- 포물선
- 타원
- 쌍곡선
- 평행이동
- 접선과 반사
- 일반형
1. 포물선
정의
표준형
\(y^2=4px\;(p>0)\)
초점: \(\mathrm{F}(p,0)\)
준선: \(x=-p\)
\(x^2=4py\;(p>0)\)
초점: \(\mathrm{F}(0,p)\)
준선: \(y=-p\)
포물선의 정의 확인하기
2. 타원
정의
표준형
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)\)
초점: \(\mathrm{F}(c,0),\mathrm{F'}(-c,0)\)
\(c^2=a^2-b^2\)
\(\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\quad(a>b>0)\)
초점: \(\mathrm{F}(0,c),\mathrm{F'}(0,-c)\)
\(c^2=a^2-b^2\)
타원의 정의 확인하기
3. 쌍곡선
정의
표준형
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
초점: \(\mathrm{F}(c,0),\mathrm{F'}(-c,0)\)
\(c^2=a^2+b^2\)
점근선: \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\)
\(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\)
초점: \(\mathrm{F}(0,c),\mathrm{F'}(0,-c)\)
\(c^2=a^2+b^2\)
점근선: \(y=\pm\dfrac{a}{b}x\)
쌍곡선의 정의 확인하기
4. 이차곡선의 평행이동
평행이동한 표준형
- 포물선: \((y-n)^2=4p(x-m)\)
- 타원: \(\dfrac{(x-m)^2}{a^2}+\dfrac{(y-n)^2}{b^2}=1\)
- 쌍곡선: \(\dfrac{(x-m)^2}{a^2}-\dfrac{(y-n)^2}{b^2}=1\)
5. 이차곡선의 접선
기울기가 \(m\)인 접선
| 이차곡선 | 표준형 | 접선의 방정식 |
|---|---|---|
| 포물선 | \(y^2=4px\) | \(y=mx+\dfrac{p}{m}\;(m\ne0)\) |
| 타원 | \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) | \(y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\) |
| 쌍곡선 | \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) | \(y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}\) |
곡선 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)에서의 접선
타원: \(\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\)
쌍곡선: \(\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1\)
포물선 접선식의 유도
\(y^2=4px\)를 음함수 미분하면 \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2p}{y}\)입니다. 점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)에서의 기울기 \(\dfrac{2p}{y_1}\)를 점-기울기 식에 넣고 \(y_1^2=4px_1\)을 이용하면 \(y_1y=2p(x+x_1)\)을 얻습니다.
6. 포물선의 반사 성질
포물선의 축에 평행하게 들어온 빛이나 전파는 포물선에서 반사된 뒤 초점을 지납니다. 위성 안테나와 자동차 전조등에 이 성질이 이용됩니다.
세로형 포물선 \(x^2=4py\)
- 점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{T}\)라 하면 \(\mathrm{T}(0,-y_1)\)입니다.
- 초점이 \(\mathrm{F}(0,p)\)이므로 \(\overline{\mathrm{FT}}=p+y_1\)입니다.
- 포물선의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}}=p+y_1\)이므로 \(\overline{\mathrm{FT}}=\overline{\mathrm{PF}}\)입니다.
- 따라서 \(\triangle\mathrm{PFT}\)는 이등변삼각형이고, 접선이 초점 방향과 축 방향에 대해 만드는 두 각의 크기가 같습니다.
포물선의 접선과 반사 성질 확인하기
7. 원뿔곡선과 일반형
원뿔을 평면으로 자르는 방향에 따라 원·타원·포물선·쌍곡선이 나타납니다. 좌표축에 평행한 이차곡선은 다음과 같이 \(xy\)항이 없는 이차방정식으로 나타낼 수 있습니다.
- 원: \(A=B\ne0\)
- 타원: \(AB>0\)이고 \(A\ne B\)
- 쌍곡선: \(AB<0\)
- 포물선: \(A,B\) 중 정확히 하나가 \(0\)
축에 평행한 이차방정식의 계수 변화
계수를 조절하여 그래프의 모양을 관찰하세요.
개념 확인
1. 포물선 위의 점은 초점과 준선에 대해 어떤 거리 관계를 만족하는가?
초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같습니다.
2. 타원 위의 점에서 두 초점까지 거리의 합은 어떻게 되는가?
항상 일정하며, 표준형에서는 장축의 길이 \(2a\)와 같습니다.
3. 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)의 초점 관계식은?
\(c^2=a^2+b^2\)입니다.
4. \(f(x,y)=0\)을 \(x\)축으로 \(m\), \(y\)축으로 \(n\)만큼 평행이동한 식은?
\(f(x-m,y-n)=0\)입니다.
5. 포물선의 축에 평행하게 들어온 빛은 반사된 뒤 어디를 지나는가?
포물선의 초점을 지납니다.
6. \(xy\)항이 없는 일반형에서 \(AB<0\)이면 어떤 곡선 유형인가?
비퇴화된 실수 곡선이라면 쌍곡선입니다.