수학시간

고등학교 연결 학습 · 수학적 논리

집합과 명제

도형을 성질에 따라 분류하고, 참인 문장을 논리적으로 설명하는 과정은 집합과 명제의 언어로 정리할 수 있습니다.

  1. 집합과 부분집합
  2. 집합의 연산
  3. 연산 법칙
  4. 명제와 조건
  5. 필요·충분조건
  6. 명제의 증명

1집합과 부분집합

어떤 조건에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임을 집합이라 하고, 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소라고 합니다.

집합인 예

네 변의 길이가 모두 같은 사각형의 모임

조건이 분명하므로 대상을 정할 수 있습니다.

집합이 아닌 예

모양이 아름다운 사각형의 모임

‘아름답다’의 기준이 사람마다 달라 분명하지 않습니다.

부분집합

집합 \(A\)의 모든 원소가 집합 \(B\)에 속할 때 \[A\subset B\]
기하 연결 직사각형의 집합을 \(A\), 평행사변형의 집합을 \(B\)라 하면 모든 직사각형은 평행사변형이므로 \(A\subset B\)입니다. 정사각형은 직사각형이면서 마름모입니다.

부분집합의 개수

원소가 \(n\)개인 집합의 각 원소마다 ‘포함한다/포함하지 않는다’의 두 가지 선택이 있습니다.

부분집합의 개수: \(2^n\)

예를 들어 \(S=\{\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}\}\)이면 \(2\times2\times2=2^3=8\)개의 부분집합을 만들 수 있습니다.

2집합의 연산

교집합

두 집합 \(A,B\)에 공통으로 속하는 원소들의 집합입니다.

\(A\cap B\)

직사각형의 집합과 마름모의 집합의 교집합은 정사각형의 집합입니다.

합집합

집합 \(A\) 또는 집합 \(B\)에 속하는 모든 원소들의 집합입니다.

\(A\cup B\)

‘또는’은 두 집합에 모두 속하는 경우도 포함합니다.

여집합

전체집합 \(U\)의 원소 중 집합 \(A\)에 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

\(A^c=\{x\mid x\in U,\ x\notin A\}\)

차집합

집합 \(A\)에는 속하지만 집합 \(B\)에는 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

\(A-B=A\cap B^c\)

드모르간의 법칙

\((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)
\((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\)
합집합이나 교집합 전체에 여집합을 취하면 각 집합에 여집합을 취하면서 연산 기호가 서로 바뀝니다.

3집합의 연산 법칙

  • 교환법칙: \(A\cup B=B\cup A\), \(A\cap B=B\cap A\)
  • 결합법칙: \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)
  • 분배법칙: \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
  • 분배법칙: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

세 집합의 원소의 개수

각 집합의 원소 수를 더하면 겹치는 부분이 중복됩니다. 두 집합씩 겹치는 부분을 빼고, 세 집합에 모두 속하는 부분을 한 번 다시 더합니다.
\[ \begin{aligned} n(A\cup B\cup C) ={}&n(A)+n(B)+n(C)\\ &-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)\\ &+n(A\cap B\cap C) \end{aligned} \]

4명제와 조건

명제

참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식입니다.

  • 참: 정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 \(60^\circ\)이다.
  • 거짓: 두 변의 길이가 같은 삼각형은 정삼각형이다.

조건

변수의 값에 따라 참과 거짓이 달라지는 문장이나 식입니다.

‘\(x\)는 \(12\)의 약수이다’는 \(x=4\)일 때 참이고 \(x=5\)일 때 거짓입니다.

조건과 진리집합

조건 \(p,q\)의 진리집합을 각각 \(P,Q\)라고 합시다. 명제 \(p\to q\)가 참이라는 것은 \(p\)를 만족하는 모든 대상이 \(q\)도 만족한다는 뜻입니다.

\(p\to q\)가 참 \(\iff P\subset Q\)

예: ‘직사각형이면 평행사변형이다’는 참입니다.

명제, 역, 이, 대우

구분기호만드는 방법
명제\(p\to q\)가정 \(p\)에서 결론 \(q\)를 이끕니다.
역\(q\to p\)가정과 결론을 서로 바꿉니다.
이\(\sim p\to\sim q\)가정과 결론을 각각 부정합니다.
대우\(\sim q\to\sim p\)가정과 결론을 바꾸고 각각 부정합니다.
명제와 그 대우의 참·거짓은 항상 같고, 역과 이의 참·거짓도 항상 같습니다.
확장 탐구

진리표

\(p\to q\)는 가정이 참인데 결론이 거짓인 경우에만 거짓입니다.

\(p\)\(q\)\(p\land q\)\(p\lor q\)\(p\to q\)
TTTTT
TFFTF
FTFTT
FFFFT

5필요조건과 충분조건

명제 \(p\to q\)가 참일 때 다음과 같이 말합니다.

  • \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건입니다.
  • \(q\)는 \(p\)이기 위한 필요조건입니다.
기하 연결 \(p\): ‘\(x\)는 정사각형이다’, \(q\): ‘\(x\)는 직사각형이다’로 두면 \(p\to q\)는 참입니다. 따라서 정사각형이라는 조건은 직사각형이기 위한 충분조건이고, 직사각형이라는 조건은 정사각형이기 위한 필요조건입니다.

필요충분조건

\(p\to q\)와 \(q\to p\)가 모두 참일 때 \[p\leftrightarrow q\]

삼각형에서 ‘세 변의 길이가 모두 같다’와 ‘세 내각의 크기가 모두 같다’는 서로 동치입니다. 어느 한 조건이 다른 조건의 필요조건이면서 충분조건입니다.

6명제의 증명

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다

  1. 가정
    \(\triangle\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}\)이다.
  2. 보조선
    \(\angle\mathrm{A}\)의 이등분선을 긋고 \(\overline{\mathrm{BC}}\)와의 교점을 \(\mathrm{D}\)라 한다.
  3. 두 삼각형 비교
    \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}\), \(\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAD}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\)는 공통이다.
  4. 합동
    두 변과 그 끼인각이 각각 같으므로 \(\triangle\mathrm{ABD}\equiv\triangle\mathrm{ACD}\)이다.
  5. 결론
    대응각의 크기가 같으므로 \(\angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{C}\)이다.
증명 전략대우법
명제 \(p\to q\) 대신 그 대우 \(\sim q\to\sim p\)를 증명해도 됩니다. 두 명제의 참·거짓이 항상 같기 때문입니다.

✓개념 확인

1. 원소가 \(5\)개인 집합의 부분집합은 모두 몇 개인가?

\(2^5=32\)개입니다.

2. 직사각형의 집합과 마름모의 집합의 교집합은?

정사각형의 집합입니다.

3. 명제 \(p\to q\)의 대우는?

\(\sim q\to\sim p\)입니다.

4. \(x\)가 정사각형이라는 조건은 \(x\)가 직사각형이기 위한 어떤 조건인가?

충분조건입니다.

5. 명제 \(p\to q\)가 거짓이 되는 유일한 경우는?

\(p\)가 참이고 \(q\)가 거짓인 경우입니다.

6. 기하 증명에서 점과 선분은 어떻게 표기하는가?

점은 \(\mathrm{A}\)처럼 로마체로, 선분은 \(\overline{\mathrm{AB}}\)처럼 나타냅니다.