수학시간

중학교 3학년 · 도형의 심화

원의 성질

원의 중심과 현, 접선, 원주각 사이의 관계를 이해하면 보이지 않는 길이와 각도도 논리적으로 구할 수 있습니다.

  1. 중심과 현
  2. 현의 길이
  3. 원의 접선
  4. 원주각
  5. 접선과 현

평면에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들을 모으면 원이 됩니다. 그 한 점을 원의 중심, 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분을 반지름이라고 합니다. 이 페이지에서는 현과 접선, 중심각과 원주각의 관계를 차례로 살펴봅니다.

1. 원의 중심과 현

현의 수직이등분선

중심이 \(\mathrm{O}\)인 원에서 현 \(\overline{\mathrm{AB}}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{M}\)이라 합시다.

  • 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분합니다.
  • 거꾸로, 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다.
\(\overline{\mathrm{OM}}\perp\overline{\mathrm{AB}}\) \(\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{BM}}\)
연결 학습삼각형의 외심
삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 까닭도 같은 원리로 설명할 수 있습니다.

현의 수직이등분선 확인하기 ①

현의 수직이등분선 확인하기 ②

2. 중심거리와 현의 길이

한 원 또는 합동인 두 원에서 중심으로부터 현까지의 거리는 중심에서 그 현에 내린 수선의 길이로 정합니다.

  • 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다.
  • 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있다.
현 \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\)까지의 거리를 각각 \(\overline{\mathrm{OM}}\), \(\overline{\mathrm{ON}}\)이라 하면 \(\overline{\mathrm{OM}}=\overline{\mathrm{ON}}\iff\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}\)

중심에서 현까지의 거리와 현의 길이 ①

중심에서 현까지의 거리와 현의 길이 ②

3. 원의 접선에 관한 성질

반지름과 접선

  • 원의 접점과 중심을 잇는 반지름은 그 접점에서의 접선과 수직입니다.
  • 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같습니다.
접점이 \(\mathrm{A},\mathrm{B}\), 원 밖의 점이 \(\mathrm{P}\)이면 \(\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}}\)
연결 학습삼각형의 내심
내접원이 삼각형의 세 변과 만나는 점을 접점으로 보면, 한 꼭짓점에서 두 접점까지의 길이가 같다는 사실을 이용할 수 있습니다.

원의 접선에 관한 성질 확인하기

사각형의 내접원과 접선의 길이 살펴보기

4. 원주각

원주각과 중심각

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반입니다. \(\angle \mathrm{APB}=\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}\)
  • 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다.
  • 반원에 대한 원주각의 크기는 \(90^\circ\)입니다.
식에서 \(\mathrm{O}\)는 원의 중심, \(\mathrm{P}\)는 호 \(\widehat{\mathrm{AB}}\)를 포함하지 않는 쪽의 원 위의 점입니다.

원주각과 중심각의 관계 확인하기

원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합은 \(180^\circ\)입니다.

\(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^\circ\), \(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^\circ\)

원에 내접하는 사각형의 성질 확인하기

호의 길이와 원주각의 크기

한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기에 정비례합니다. 따라서 호의 길이가 같으면 그 호에 대한 원주각의 크기도 같습니다.

  • 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다.
  • 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같다.
비교하는 원주각은 각각 해당 호를 포함하지 않는 쪽의 원 위에 꼭짓점을 둡니다.

호의 길이와 원주각의 크기 확인하기

한 원 위의 네 점으로 원주각 비교하기

5. 원의 접선과 현이 이루는 각

접선과 현이 이루는 각

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.

\(\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{BCA}\)
\(\mathrm{A}\)는 접점이고, \(\overline{\mathrm{AT}}\)는 접선 위의 선분입니다. 같은 호에 대한 각을 정확히 대응시키는 것이 핵심입니다.

접선과 현이 이루는 각 확인하기

확장 탐구

원의 접선과 할선, 원과 비례

다음 시뮬레이션은 원 밖의 한 점에서 그은 접선과 할선, 또는 서로 만나는 두 현의 길이 사이에 일정한 곱의 관계가 있음을 탐구합니다. 중학교 핵심 성질을 이해한 뒤 확장하여 살펴보세요.

접선 \(\overline{\mathrm{PT}}\)와 할선 \(\mathrm{PAB}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PT}}^{\,2}=\overline{\mathrm{PA}}\cdot\overline{\mathrm{PB}}\)

확장 탐구: 접선과 할선의 길이

두 현 \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\)가 원 안의 점 \(\mathrm{P}\)에서 만나면 \(\overline{\mathrm{PA}}\cdot\overline{\mathrm{PB}} =\overline{\mathrm{PC}}\cdot\overline{\mathrm{PD}}\)

확장 탐구: 원과 비례 ①

확장 탐구: 원과 비례 ②

개념 확인

1. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 어떻게 나눌까?

현을 이등분합니다.

2. 한 원에서 길이가 같은 두 현은 중심으로부터의 거리가 어떻게 될까?

중심으로부터의 거리가 서로 같습니다.

3. 접점에서의 반지름과 접선이 이루는 각의 크기는?

\(90^\circ\)입니다.

4. 중심각의 크기가 \(100^\circ\)일 때 같은 호에 대한 원주각의 크기는?

중심각의 절반인 \(50^\circ\)입니다.

5. 반원에 대한 원주각의 크기는?

\(90^\circ\)입니다.

6. 원의 접선과 현이 이루는 각은 어떤 원주각과 같을까?

그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각과 같습니다.