MATH TIME
MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.
필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.
중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.
주요 콘텐츠
학습 목적에 맞는 영역을 살펴보세요.
진법, 수 체계, 도형, 통계 등 수학 개념을 시각화하거나 직접 조작하며 원리를 탐구합니다.
상단 Labs 메뉴에서 선택번호 뽑기, 타이머, 사다리 타기, 단위 변환 등 수업과 학습에 필요한 보조 도구를 제공합니다.
상단 도구 모음에서 선택계산, 추론, 규칙 발견, 전략 활동을 통해 수학적 사고를 자연스럽게 연습할 수 있습니다.
상단 Math Games에서 선택수학 탐구, 도구 모음, 수학 게임은 별도의 대표 페이지 없이 상단 네비게이션의 드롭다운 메뉴에서 원하는 콘텐츠로 바로 이동합니다.
일부 페이지는 기존 구성으로 제공될 수 있으며, 준비가 완료되는 대로 새로운 내용으로 업데이트됩니다.
생각하는 힘을 기르는 수학
어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.
오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.
“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”
중학교 3학년 · 도형의 심화
삼각비
닮은 직각삼각형에서 일정하게 유지되는 변의 길이의 비를 이용하면, 직접 잴 수 없는 거리와 높이도 계산할 수 있습니다.
- 삼각비의 뜻
- 특수각의 값
- 값의 변화
- 거리와 높이
1삼각비의 뜻
직각삼각형에서 한 예각의 크기가 같으면 두 삼각형은 서로 닮음입니다. 따라서 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 이 일정한 비를 그 각의 삼각비라고 합니다.
직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{C}=90^\circ\)이고 \(\angle \mathrm{A}\)를 기준각으로 정해 봅시다.
삼각비의 뜻 확인하기
2특수각의 삼각비
정삼각형을 반으로 나누면 변의 길이의 비가 \(1:\sqrt{3}:2\)인 \(30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ\) 삼각형을 얻습니다. 정사각형을 대각선으로 나누면 변의 길이의 비가 \(1:1:\sqrt{2}\)인 \(45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ\) 삼각형을 얻습니다.
\(30^\circ\)
\(\sin 30^\circ\) \(=\dfrac{1}{2}\)
\(\cos 30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan 30^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)
\(\sin 45^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos 45^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan 45^\circ\) \(=1\)
\(60^\circ\)
\(\sin 60^\circ\) \(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60^\circ\) \(=\dfrac{1}{2}\)
\(\tan 60^\circ\) \(=\sqrt{3}\)
\(30^\circ, 60^\circ\)의 삼각비 확인하기
\(45^\circ\)의 삼각비 확인하기
3예각의 삼각비와 값의 변화
반지름이 \(1\)인 사분원 안에 직각삼각형을 만들면 사인과 코사인의 값을 가로·세로 선분의 길이로 비교할 수 있습니다. 예각 \(\mathrm{A}\)가 커질 때의 변화를 살펴봅시다.
\(\sin \mathrm{A}\)
각 \(\mathrm{A}\)가 커질수록 값이 커집니다.
예각에서는 \(0<\sin \mathrm{A}<1\)
\(\cos \mathrm{A}\)
각 \(\mathrm{A}\)가 커질수록 값이 작아집니다.
예각에서는 \(0<\cos \mathrm{A}<1\)
\(\tan \mathrm{A}\)
각 \(\mathrm{A}\)가 커질수록 값이 커집니다.
\(\mathrm{A}=90^\circ\)에서는 값이 정해지지 않습니다.
예각의 삼각비 변화 관찰하기
4삼각비의 활용
길이 구하기
\(\angle \mathrm{C}=90^\circ\)인 직각삼각형에서 \(a=\overline{\mathrm{BC}}\), \(b=\overline{\mathrm{AC}}\), \(c=\overline{\mathrm{AB}}\)라 하면 다음 관계를 이용할 수 있습니다.
\(b=c\cos \mathrm{A}\)
문제 해결 순서
- 구하려는 높이·거리와 주어진 길이를 표시합니다.
- 직각삼각형과 기준각을 찾습니다.
- 두 변을 연결하는 삼각비를 고릅니다.
- 식을 세워 계산하고 단위를 확인합니다.
삼각형의 넓이 탐구하기
사각형의 넓이 탐구하기
예제: 나무의 높이 구하기
나무에서 \(20\,\mathrm{m}\) 떨어진 곳에서 눈높이 \(1.6\,\mathrm{m}\)로 나무 꼭대기를 올려다본 각이 \(30^\circ\)일 때 나무의 높이 \(H\)를 구해 봅시다.
- 눈높이에서 나무까지의 수평 거리와 눈높이 위쪽 높이를 연결하므로 탄젠트를 선택합니다.
- \(\tan 30^\circ=\dfrac{H-1.6}{20}\)
- \(H=20\tan 30^\circ+1.6=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}+1.6\approx13.1\)
✓개념 확인
1. \(\angle \mathrm{C}=90^\circ\), \(\overline{\mathrm{AB}}=10\), \(\overline{\mathrm{BC}}=6\)일 때 \(\sin \mathrm{A}\)는?
\(\sin \mathrm{A}=\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
2. \(\cos 60^\circ\)의 값은?
\(\dfrac{1}{2}\)입니다.
3. 빗변이 \(12\)이고 한 예각이 \(30^\circ\)일 때 그 각의 맞은편 변의 길이는?
\(12\sin 30^\circ=12\times\dfrac{1}{2}=6\)입니다.
4. 예각 \(\mathrm{A}\)가 커질수록 \(\sin \mathrm{A}\), \(\cos \mathrm{A}\), \(\tan \mathrm{A}\)는 어떻게 변할까?
\(\sin \mathrm{A}\)와 \(\tan \mathrm{A}\)는 커지고, \(\cos \mathrm{A}\)는 작아집니다.
5. 높이와 수평 거리를 연결할 때 주로 사용하는 삼각비는?
탄젠트입니다. \(\tan \mathrm{A}=\dfrac{\text{맞은편 변}}{\text{이웃한 변}}\)을 이용합니다.