MATH TIME
MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.
필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.
중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.
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진법, 수 체계, 도형, 통계 등 수학 개념을 시각화하거나 직접 조작하며 원리를 탐구합니다.
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생각하는 힘을 기르는 수학
어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.
오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.
“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”
피타고라스 정리
직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 이해하고, 넓이와 닮음을 이용한 증명 및 여러 활용을 알아봅니다.
- 피타고라스 정리
- 두 가지 증명
- 정리의 역과 판별
- 피타고라스 수
1피타고라스 정리
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 \(a\), \(b\), 빗변의 길이를 \(c\)라고 하면
직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다. 기하학적으로는 각 변을 한 변으로 하는 세 정사각형의 넓이 관계입니다.
\(c\)는 반드시 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변, 즉 빗변의 길이여야 합니다.
시뮬레이션 · 정사각형의 넓이 관계
2피타고라스 정리의 증명
피타고라스 정리는 넓이의 재배치, 닮음 등 여러 방법으로 증명할 수 있습니다. 먼저 큰 정사각형의 넓이를 두 가지 방법으로 계산해 봅시다.
- 한 변의 길이가 \(a+b\)인 정사각형 안에 합동인 직각삼각형 네 개를 배치합니다.
- 네 직각삼각형의 넓이의 합은 \(4\times\dfrac{ab}{2}=2ab\)입니다.
- 가운데에 남는 정사각형의 한 변의 길이는 \(c\)이므로 넓이는 \(c^2\)입니다.
- 큰 정사각형의 넓이를 비교하면 \((a+b)^2=2ab+c^2\)입니다.
- 양변을 정리하면 \(a^2+b^2=c^2\)입니다.
\(\angle \mathrm{C}=90^\circ\)인 \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 빗변 \(\overline{\mathrm{AB}}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라고 합니다.
- \(\triangle \mathrm{ACH}\sim\triangle \mathrm{ABC}\), \(\triangle \mathrm{BCH}\sim\triangle \mathrm{ABC}\)입니다. (AA 닮음)
- 닮음비를 이용하면 \(\overline{\mathrm{AC}}^2=\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AH}}\)입니다.
- 같은 방법으로 \(\overline{\mathrm{BC}}^2=\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BH}}\)입니다.
-
두 식을 더합니다.
\(\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2\)\(=\overline{\mathrm{AB}}(\overline{\mathrm{AH}}+\overline{\mathrm{BH}})\)
-
\(\overline{\mathrm{AH}}+\overline{\mathrm{BH}}=\overline{\mathrm{AB}}\)이므로
\(\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2\)
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 1
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 2
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 3
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 4
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 5
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 6
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 7
시뮬레이션 · 피타고라스 정리 증명 8
3피타고라스 정리의 역과 삼각형의 판별
세 변의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)이고 \(c\)가 가장 긴 삼각형에서 \(a^2+b^2=c^2\)이면, 이 삼각형은 \(c\)를 빗변으로 하는 직각삼각형입니다. 이를 피타고라스 정리의 역이라고 합니다.
먼저 세 길이로 삼각형이 만들어지는지 확인하고, 가장 긴 변을 \(c\)로 정한 뒤 제곱의 크기를 비교합니다.
삼각형 판별기
세 변의 길이를 순서에 관계없이 입력하세요. 가장 긴 변을 자동으로 찾아 삼각형의 종류를 판별합니다.
4피타고라스 수와 활용
피타고라스 정리를 만족하는 세 자연수 \(a\), \(b\), \(c\)를 피타고라스 수라고 합니다.
\((3,4,5)\)의 각 항에 같은 자연수를 곱한 \((6,8,10)\), \((9,12,15)\)도 피타고라스 수입니다. 이들이 만드는 직각삼각형은 서로 닮음입니다.
\(m>n\)인 자연수 \(m\), \(n\)에 대하여 다음 세 수는 피타고라스 정리를 만족합니다.
피타고라스 수 찾기
빗변의 최댓값을 정하면 원시 피타고라스 수와 그 자연수배를 닮음 관계별로 묶어 보여 줍니다.
가로가 \(6\), 세로가 \(8\)인 직사각형의 대각선의 길이를 \(d\)라고 하면
읽을거리 · 피타고라스 학파와 수
고대 그리스의 피타고라스 학파는 수학, 음악, 천문학에서 수의 규칙을 탐구했습니다. 피타고라스 정리는 그보다 앞선 여러 문명에서도 활용되었지만, 이 학파의 이름과 함께 널리 알려졌습니다.
직각이등변삼각형의 두 직각변의 길이가 \(1\)이면 빗변의 길이는 \(\sqrt{2}\)입니다. \(\sqrt{2}\)는 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이며, 이는 수의 범위를 넓히는 중요한 계기가 되었습니다.
스스로 확인하기
1. 두 직각변의 길이가 \(9\), \(12\)인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하세요.
정답 보기
\(c^2=9^2+12^2=225\)이므로 \(c=15\)입니다.
2. 빗변의 길이가 \(13\), 한 직각변의 길이가 \(5\)일 때 다른 직각변의 길이를 구하세요.
정답 보기
\(b^2=13^2-5^2=144\)이므로 \(b=12\)입니다.
3. 세 변의 길이가 \(6\), \(8\), \(11\)인 삼각형은 예각·직각·둔각삼각형 중 무엇인가요?
정답 보기
\(6^2+8^2=100<121=11^2\)이므로 둔각삼각형입니다.
4. \((3,4,5)\)의 각 항에 \(4\)를 곱하여 얻는 피타고라스 수를 쓰세요.
정답 보기
\((12,16,20)\)입니다.
5. 피타고라스 정리를 사용할 때 \(c\)는 어떤 변의 길이여야 하나요?
정답 보기
직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변, 즉 빗변의 길이여야 합니다.