수학시간

도형의 닮음

닮음비와 삼각형의 닮음 조건을 이해하고, 평행선에서 생기는 선분의 길이의 비와 여러 활용을 알아봅니다.

  1. 닮음과 닮음비
  2. 길이·넓이·부피의 비
  3. 삼각형의 닮음 조건
  4. 평행선과 선분의 비

1닮음과 닮음비

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 뒤 적절히 옮기거나 돌리거나 뒤집어서 다른 도형과 완전히 포갤 수 있을 때, 두 도형은 서로 닮음이라고 합니다.
닮음의 기호
\(\triangle \mathrm{ABC}\sim\triangle \mathrm{DEF}\)

기호의 양쪽에는 대응하는 꼭짓점의 순서를 맞추어 씁니다. 따라서 \(\mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{D}\), \(\mathrm{B}\leftrightarrow\mathrm{E}\), \(\mathrm{C}\leftrightarrow\mathrm{F}\)입니다.

  • 서로 대응하는 선분의 길이의 비는 일정합니다. 이 일정한 비를 닮음비라고 합니다.
  • 서로 대응하는 각의 크기는 각각 같습니다.
  • 두 닮은 평면도형의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같습니다.

시뮬레이션 · 도형의 닮음

2닮은 도형의 길이·넓이·부피의 비

두 도형의 닮음비가 \(m:n\)이면 대응하는 모든 길이의 비는 \(m:n\)입니다. 넓이는 길이를 두 번 곱하여 구하고, 부피는 길이를 세 번 곱하여 구하므로 지수가 달라집니다.

대응하는 길이의 비
\(m:n\)
넓이·겉넓이의 비
\(m^2:n^2\)
부피의 비
\(m^3:n^3\)
예
닮음비가 \(1:2\)이면 넓이의 비는 \(1:4\), 부피의 비는 \(1:8\)입니다.
닮음비가 \(2:3\)이면 넓이의 비는 \(4:9\), 부피의 비는 \(8:27\)입니다.

두 입체도형이 닮음이면 대응하는 면은 서로 닮고, 대응하는 모서리의 길이의 비는 모두 같습니다.

시뮬레이션 · 입체도형의 닮음

3삼각형의 닮음 조건

두 삼각형이 다음 조건 중 어느 하나를 만족하면 서로 닮음입니다. 조건을 확인할 때는 대응하는 변과 각의 순서를 일치시켜야 합니다.

SSS 닮음

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 각각 같습니다.

\(\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{EF}}\)
\(\overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{EF}}=\overline{\mathrm{CA}}:\overline{\mathrm{FD}}\)
SAS 닮음

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같습니다.

\(\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{DE}}}=\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{DF}}}\)
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}\)
AA 닮음

두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같습니다.

\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}\)
\(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}\)
구별하기
SAS 닮음에서 같은 각은 반드시 비를 비교한 두 변 사이의 끼인각이어야 합니다.

시뮬레이션 · 삼각형의 닮음

4평행선과 선분의 길이의 비

\(\triangle \mathrm{ABC}\)의 두 변 \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AC}}\) 위의 점을 각각 \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\)라고 하겠습니다. \(\overline{\mathrm{DE}}\parallel\overline{\mathrm{BC}}\)이면 평행선의 동위각 또는 엇각을 이용하여 다음을 알 수 있습니다.

\(\triangle \mathrm{ADE}\sim\triangle \mathrm{ABC}\) (AA 닮음)
\(\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AE}}:\overline{\mathrm{AC}}\)
\(\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DE}}:\overline{\mathrm{BC}}\)
\(\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{AE}}:\overline{\mathrm{EC}}\)
주의
전체 변과 부분 변을 섞어 대응시키면 안 됩니다. 일반적으로 \(\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{DE}}:\overline{\mathrm{BC}}\)는 성립하지 않습니다.

시뮬레이션 · 평행선과 선분의 길이의 비

여러 평행선과 선분의 길이의 비

세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 한 직선 위에서 평행선에 의해 잘린 선분의 길이의 비는 다른 직선 위의 대응하는 선분의 길이의 비와 같습니다.

\(a:b=a':b'\)

시뮬레이션 · 평행선과 선분의 길이의 비

시뮬레이션 · 평행선과 선분의 길이의 비

5닮음의 활용

삼각형의 내각의 이등분선

\(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{A}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라고 하면, 대변은 이웃한 두 변의 길이의 비로 나누어집니다.

\(\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}\)

시뮬레이션 · 삼각형의 내각의 이등분선

삼각형의 외각의 이등분선

\(\overline{\mathrm{AB}}\ne\overline{\mathrm{AC}}\)인 \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{A}\)의 외각의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)의 연장선과 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라고 하면, 선분의 길이에 대하여 다음 비가 성립합니다.

\(\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}\)

시뮬레이션 · 삼각형의 외각의 이등분선

삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분

\(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\)가 각각 \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 중점이면 두 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반입니다.

\(\overline{\mathrm{DE}}\parallel\overline{\mathrm{BC}}\)
\(\overline{\mathrm{DE}}=\dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}\)

이 성질을 사각형의 네 변에 차례로 적용하면 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 항상 평행사변형이 됩니다.

시뮬레이션 · 중점을 연결하여 만든 사각형

점 A, B, C, D를 옮겨 여러 사각형을 만들고, 중점을 연결하여 만든 사각형이 어떻게 변하는지 관찰해 보세요.

6삼각형의 무게중심

정의와 성질

  • 중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분입니다.
  • 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점을 무게중심이라고 합니다.
  • 무게중심은 각 중선의 길이를 꼭짓점 쪽에서부터 \(2:1\)로 나눕니다.
  • 세 중선을 모두 그으면 생기는 여섯 작은 삼각형의 넓이는 모두 같습니다.

\(\overline{\mathrm{AD}}\)가 중선이고 무게중심이 \(\mathrm{G}\)이면 다음이 성립합니다.

\(\overline{\mathrm{AG}}:\overline{\mathrm{GD}}=2:1\)

시뮬레이션 · 삼각형의 무게중심

시뮬레이션 · 삼각형의 무게중심과 넓이

삼각형의 세 중심 비교

외심은 세 변의 수직이등분선의 교점, 내심은 세 내각의 이등분선의 교점, 무게중심은 세 중선의 교점입니다. 어떤 선들이 만나서 만들어지는 점인지 구별하세요.

시뮬레이션 · 삼각형의 외심, 내심, 무게중심

읽을거리 · 탈레스와 피라미드

고대 그리스의 수학자 탈레스가 막대기와 그림자를 이용하여 피라미드의 높이를 구했다는 이야기가 전해집니다. 같은 시각에 태양빛이 서로 평행하다고 보면 막대기와 그 그림자가 만드는 직각삼각형은 피라미드와 그 그림자가 만드는 직각삼각형과 닮음입니다.

\(\text{(막대 길이)}:\text{(막대 그림자)}\)\(=\text{(피라미드 높이)}:\text{(피라미드 그림자)}\)

직접 재기 어려운 높이나 거리를 닮음비로 구할 수 있다는 점이 핵심입니다.

심화 탐구 · 사각형의 네 꼭짓점의 무게중심

삼각형과 달리 일반적인 사각형에서는 무엇을 같은 질량으로 보는지에 따라 무게중심을 정하는 방법이 달라질 수 있습니다. 아래 시뮬레이션에서 제시하는 정의와 구성을 확인하며 탐구해 보세요.

시뮬레이션 · 사각형의 무게중심

스스로 확인하기

1. 두 닮은 평면도형의 닮음비가 \(2:5\)일 때 넓이의 비는 얼마인가요?

정답 보기

\(4:25\)입니다. 넓이의 비는 닮음비의 각 항을 제곱합니다.

2. 두 닮은 입체도형의 부피의 비가 \(8:27\)일 때 닮음비는 얼마인가요?

정답 보기

\(2:3\)입니다. \(8=2^3\), \(27=3^3\)입니다.

3. 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때 사용하는 닮음 조건은 무엇인가요?

정답 보기

SAS 닮음입니다.

4. 삼각형의 무게중심이 한 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 나누는 비는 얼마인가요?

정답 보기

\(2:1\)입니다.