수학시간

사각형의 성질

평행사변형의 성질을 출발점으로 하여 직사각형·마름모·정사각형의 대각선과 사각형 사이의 관계를 이해합니다.

  1. 평행사변형의 성질
  2. 평행사변형이 되는 조건
  3. 특수한 평행사변형
  4. 사각형 사이의 관계

1평행사변형의 성질

정의

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형입니다.
\(\overline{\mathrm{AB}}\parallel\overline{\mathrm{DC}},\quad \overline{\mathrm{AD}}\parallel\overline{\mathrm{BC}}\)

성질

  • 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같습니다. \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}},\ \overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}\)
  • 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같습니다. \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C},\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
  • 두 대각선은 서로를 이등분합니다. \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OC}},\ \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OD}}\)
평행사변형의 성질을 설명하는 기본 논증

대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)를 그은 뒤 \(\triangle \mathrm{ABC}\)와 \(\triangle \mathrm{CDA}\)를 비교합니다.

  • \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}\) (엇각)
  • \(\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\) (엇각)
  • \(\overline{\mathrm{AC}}\)는 공통인 변입니다.

따라서 \(\triangle \mathrm{ABC}\equiv\triangle \mathrm{CDA}\)입니다. (ASA 합동)

합동인 두 삼각형의 대응변과 대응각이 각각 같으므로 두 쌍의 대변과 한 쌍의 대각에 관한 성질을 얻습니다. 나머지 한 쌍의 대각도 같은 방법으로 확인할 수 있습니다.

두 대각선의 교점을 \(\mathrm{O}\)라 하면 \(\triangle \mathrm{AOD}\)와 \(\triangle \mathrm{COB}\)가 ASA 합동이므로 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OC}}\), \(\overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{OB}}\)입니다. 따라서 두 대각선은 서로를 이등분합니다.

시뮬레이션 · 평행사변형의 성질

시뮬레이션 · 평행사변형의 대각선

시뮬레이션 · 평행사변형 탐구

점 A, B, D를 드래그하여 모양을 바꾸고, 선택한 성질이 유지되는지 확인해 보세요.

2평행사변형이 되는 조건

사각형이 다음 조건 중 어느 하나를 만족하면 그 사각형은 평행사변형입니다.

  1. 두 쌍의 대변이 각각 평행합니다. (정의)
  2. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같습니다.
  3. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같습니다.
  4. 두 대각선이 서로를 이등분합니다.
  5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같습니다.
조건 5의 논증

\(\overline{\mathrm{AB}}\parallel\overline{\mathrm{DC}}\), \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}\)인 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)를 긋습니다.

  • \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}\)
  • \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}\) (엇각)
  • \(\overline{\mathrm{AC}}\)는 공통인 변

따라서 \(\triangle \mathrm{ABC}\equiv\triangle \mathrm{CDA}\)입니다. (SAS 합동)

그러므로 \(\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\)이고, 두 각은 엇각이므로 \(\overline{\mathrm{BC}}\parallel\overline{\mathrm{AD}}\)입니다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)는 평행사변형입니다.

구별하기
‘한 쌍의 대변이 평행하다’만으로는 충분하지 않습니다. 그 한 쌍의 길이도 같아야 평행사변형이 됩니다.

시뮬레이션 · 평행사변형이 되기 위한 조건

시뮬레이션 · 평행사변형이 아닌 경우

3직사각형의 대각선

직사각형은 네 내각의 크기가 모두 \(90^\circ\)인 사각형입니다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 직사각형은 평행사변형입니다.

대각선의 성질

  • 두 대각선의 길이가 같습니다. \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}\)
  • 두 대각선은 서로를 이등분합니다. (평행사변형의 성질)
두 대각선의 길이가 같은 이유

\(\triangle \mathrm{ABC}\)와 \(\triangle \mathrm{DCB}\)에서 다음을 확인합니다.

  • \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}\) (평행사변형의 성질)
  • \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCB}=90^\circ\)
  • \(\overline{\mathrm{BC}}\)는 공통인 변입니다.

따라서 \(\triangle \mathrm{ABC}\equiv\triangle \mathrm{DCB}\)이고(SAS 합동), 대응변의 길이가 같으므로 \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{DB}}\)입니다.

시뮬레이션 · 직사각형의 대각선

4마름모의 대각선

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 마름모는 평행사변형입니다.

대각선의 성질

  • 두 대각선은 서로 수직입니다. \(\overline{\mathrm{AC}}\perp\overline{\mathrm{BD}}\)
  • 두 대각선은 서로를 이등분합니다. (평행사변형의 성질)
두 대각선이 수직인 이유

두 대각선의 교점을 \(\mathrm{O}\)라 하고, \(\triangle \mathrm{ABO}\)와 \(\triangle \mathrm{ADO}\)를 비교합니다.

  • \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}}\) (마름모의 정의)
  • \(\overline{\mathrm{BO}}=\overline{\mathrm{DO}}\) (평행사변형의 대각선의 성질)
  • \(\overline{\mathrm{AO}}\)는 공통인 변입니다.

따라서 \(\triangle \mathrm{ABO}\equiv\triangle \mathrm{ADO}\)입니다. (SSS 합동)

그러므로 \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOD}\)입니다. 두 각의 합이 \(180^\circ\)이므로 각각 \(90^\circ\)이고, 두 대각선은 서로 수직입니다.

시뮬레이션 · 마름모의 대각선

5정사각형의 대각선

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 \(90^\circ\)인 사각형입니다. 따라서 직사각형이면서 동시에 마름모입니다.

직사각형의 대각선의 성질과 마름모의 대각선의 성질을 모두 가집니다.

두 대각선의 길이가 같고, 서로를 수직이등분합니다.

\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}},\quad \overline{\mathrm{AC}}\perp\overline{\mathrm{BD}}\)

시뮬레이션 · 정사각형

6사각형 사이의 관계

화살표를 따라 내려가며 조건이 하나씩 추가되는 과정을 살펴보세요. 아래쪽에 있는 사각형은 위쪽 사각형의 성질을 모두 가집니다.

사각형 한 쌍의 대변 평행 사다리꼴 다른 한 쌍의 대변 평행 평행사변형 한 내각이 직각 또는 대각선 길이 같음 이웃하는 변 길이 같음 또는 대각선 수직 직사각형 마름모 이웃 변 같음 한 내각 직각 정사각형

시뮬레이션 · 평행사변형에 어떤 조건을 추가하면?

더 알아보기

1. 등적변형

도형의 넓이는 그대로 두고 모양을 바꾸는 것을 등적변형이라고 합니다. 예를 들어 평행사변형의 한쪽 삼각형을 잘라 다른 쪽에 붙이면 넓이가 같은 직사각형을 만들 수 있습니다.

시뮬레이션 · 등적변형

2. 등변사다리꼴

평행하지 않은 두 대변의 길이가 같은 사다리꼴을 등변사다리꼴이라고 합니다. 한 밑변에 이웃한 두 각의 크기가 같고, 두 대각선의 길이도 같습니다.

3. 연꼴

이웃하는 두 쌍의 변의 길이가 각각 같은 사각형을 연꼴이라고 합니다. 두 대각선은 서로 수직이며, 같은 길이의 두 변이 만나는 꼭짓점을 이은 대각선이 다른 대각선을 이등분합니다.

시뮬레이션 · 여러 가지 사각형

스스로 확인하기

1. 두 대각선의 길이가 같고 서로를 이등분하는 평행사변형은 어떤 사각형인가요?

정답 보기

직사각형입니다. 평행사변형의 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 됩니다.

2. 두 대각선이 서로 수직이고 서로를 이등분하는 평행사변형은 어떤 사각형인가요?

정답 보기

마름모입니다. 평행사변형의 두 대각선이 서로 수직이면 마름모가 됩니다.

3. 한 쌍의 대변이 평행하지만 두 변의 길이가 같다는 조건이 없는 사각형을 반드시 평행사변형이라고 할 수 있나요?

정답 보기

아니요. 한 쌍의 대변이 평행하다는 조건만으로는 부족합니다. 같은 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이도 같아야 합니다.