MATH TIME

MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.

필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.

중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.

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생각하는 힘을 기르는 수학

어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.

오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.

“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”

조지 폴리아

MIDDLE SCHOOL GEOMETRY

삼각형의 성질

합동을 이용해 이등변삼각형의 성질을 설명하고, 외심과 내심이 만들어지는 과정을 단계적으로 논증합니다.

1이등변삼각형
2직각삼각형의 합동
3삼각형의 외심
4삼각형의 내심

이등변삼각형의 성질

두 변의 길이가 같은 삼각형에서 합동인 두 삼각형을 찾으면 밑각과 꼭지각의 이등분선에 관한 성질을 설명할 수 있습니다.

정의와 성질

두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 합니다.
길이가 같은 두 변이 만나는 각을 꼭지각이라고 합니다.
꼭지각의 맞은편 변을 밑변, 밑변의 양 끝각을 밑각이라고 합니다.

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같습니다.

꼭지각의 이등분선

\(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}\)이고 \(\overline{\mathrm{AD}}\)가 \(\angle \mathrm{A}\)의 이등분선이면 다음이 성립합니다.

\(\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CD}},\quad \overline{\mathrm{AD}}\perp\overline{\mathrm{BC}}\)

즉, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분합니다.

왜 밑변을 수직이등분할까?

\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}\), \(\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CAD}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\)는 공통입니다.
따라서 \(\triangle \mathrm{ABD}\equiv\triangle \mathrm{ACD}\)입니다. (SAS 합동)
대응변이므로 \(\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CD}}\)이고, 대응각이므로 \(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}\)입니다.
두 각은 한 직선 위의 각이므로 합이 \(180^\circ\)입니다. 따라서 두 각은 각각 \(90^\circ\)이고 \(\overline{\mathrm{AD}}\perp\overline{\mathrm{BC}}\)입니다.

거꾸로도 성립합니다. 삼각형에서 두 내각의 크기가 같으면 그 두 각의 맞은편 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형입니다.

직각삼각형의 합동 조건

두 직각삼각형에서는 직각이 이미 같으므로 빗변과 한 가지 조건을 더 비교하여 합동을 판단할 수 있습니다.

합동 조건	같아야 하는 요소	일반 합동 조건과의 연결
RHA 합동	빗변과 한 예각	나머지 예각도 같아져 ASA 합동
RHS 합동	빗변과 다른 한 변	두 삼각형을 붙여 이등변삼각형을 만든 뒤 RHA 합동

RHA 합동의 논증

두 직각은 서로 같습니다.
한 예각이 같으면 삼각형의 내각의 합에 의해 나머지 예각도 같습니다.
같은 두 각 사이의 변인 빗변의 길이가 같으므로 ASA 합동입니다.

RHS 합동의 논증

길이가 같은 한 변을 포개어 두 직각삼각형을 붙입니다.
두 직각이 이어지므로 맞은편 두 꼭짓점은 한 직선 위에 놓입니다.
두 빗변의 길이가 같아 큰 삼각형은 이등변삼각형이 됩니다.
두 밑각이 같으므로 RHA 합동으로 두 직각삼각형이 합동입니다.

직각삼각형의 합동 확인하기

GeoGebra 화면 아래의 점을 움직여 두 직각삼각형을 겹쳐 보고, RHA와 RHS 조건이 일반 합동 조건으로 연결되는 과정을 확인하세요.

관찰할 점

RHA에서는 나머지 한 예각이 왜 자동으로 같아지는지 확인합니다.
RHS에서는 두 삼각형을 붙였을 때 어떤 이등변삼각형이 만들어지는지 확인합니다.

삼각형의 외심

삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 합니다.

외심을 찾는 방법

삼각형의 두 변에 대한 수직이등분선을 그으면 한 점에서 만납니다. 이 점이 외심입니다.

\(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}\)

수직이등분선의 성질

선분의 수직이등분선 위의 점은 선분의 양 끝점에서 같은 거리에 있습니다. 거꾸로 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점은 수직이등분선 위에 있습니다.

세 변의 수직이등분선은 왜 한 점에서 만날까?

\(\mathrm{D}\), \(\mathrm{F}\)를 각각 \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 중점으로 잡고, 두 점에서 수직선을 그어 만나는 점을 \(\mathrm{O}\)라고 합니다.
\(\triangle \mathrm{OAD}\)와 \(\triangle \mathrm{OBD}\)는 \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BD}}\), \(\overline{\mathrm{OD}}\)가 공통이고 끼인각이 직각이므로 합동입니다. 따라서 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}\)입니다.
같은 방법으로 \(\triangle \mathrm{OAF}\equiv\triangle \mathrm{OCF}\)이므로 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OC}}\)입니다.
따라서 \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}\)입니다.
점 \(\mathrm{O}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{E}\)라고 하면 \(\triangle \mathrm{OBE}\equiv\triangle \mathrm{OCE}\)입니다. (RHS 합동)
그러므로 \(\overline{\mathrm{BE}}=\overline{\mathrm{CE}}\)이고, \(\overline{\mathrm{OE}}\)는 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 수직이등분선입니다. 세 수직이등분선은 모두 점 \(\mathrm{O}\)에서 만납니다.

삼각형의 모양을 바꾸며 외심 논증하기

꼭짓점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)를 드래그하여 삼각형을 바꾸고, 오른쪽의 확인란을 위에서부터 한 단계씩 선택하세요.

단계별 확인

두 변의 중점과 수직선을 확인합니다.
합동인 직각삼각형을 찾아 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}\)를 얻습니다.
마지막 수직선도 나머지 한 변을 이등분하는지 확인합니다.
삼각형의 모양을 바꾸어도 논증의 각 단계가 그대로 성립하는지 살펴봅니다.

예각·직각·둔각삼각형에서 외심의 위치 관찰하기

슬라이더를 움직여 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)의 높이를 바꾸고, 세 수직이등분선의 교점 \(\mathrm{O}\)가 어디로 이동하는지 관찰하세요.

삼각형의 모양 예각삼각형

예각삼각형 외심은 삼각형의 내부에 있습니다.

외심과 각의 크기

외접원에서 같은 호 \(\widehat{\mathrm{BC}}\)에 대한 중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배입니다.

\(\angle \mathrm{BOC}=2\angle \mathrm{BAC}\)

삼각형의 내심

삼각형의 세 변에 모두 접하는 원을 내접원이라고 하고, 내접원의 중심을 내심이라고 합니다.

내심을 찾는 방법

삼각형의 두 내각의 이등분선을 그으면 한 점에서 만납니다. 이 점이 내심입니다.

\(\overline{\mathrm{ID}}=\overline{\mathrm{IE}}=\overline{\mathrm{IF}}\)

각의 이등분선의 성질

각의 이등분선 위의 점에서 각의 두 변에 이르는 수직거리는 같습니다. 이 성질은 내접원의 반지름이 세 변에 수직인 이유를 설명합니다.

세 내각의 이등분선은 왜 한 점에서 만날까?

\(\angle \mathrm{B}\), \(\angle \mathrm{C}\)의 이등분선이 만나는 점을 \(\mathrm{I}\)라고 하고, \(\mathrm{I}\)에서 세 변에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)라고 합니다.
\(\triangle \mathrm{BDI}\)와 \(\triangle \mathrm{BEI}\)는 빗변 \(\overline{\mathrm{BI}}\)가 공통이고 한 예각이 같으므로 RHA 합동입니다. 따라서 \(\overline{\mathrm{ID}}=\overline{\mathrm{IE}}\)입니다.
같은 방법으로 \(\triangle \mathrm{CEI}\equiv\triangle \mathrm{CFI}\)이므로 \(\overline{\mathrm{IE}}=\overline{\mathrm{IF}}\)입니다.
따라서 \(\overline{\mathrm{ID}}=\overline{\mathrm{IF}}\)입니다.
\(\triangle \mathrm{ADI}\)와 \(\triangle \mathrm{AFI}\)는 빗변 \(\overline{\mathrm{AI}}\)가 공통이고 다른 한 변 \(\overline{\mathrm{ID}}=\overline{\mathrm{IF}}\)이므로 RHS 합동입니다.
따라서 \(\angle \mathrm{DAI}=\angle \mathrm{FAI}\)이고, 점 \(\mathrm{I}\)는 \(\angle \mathrm{A}\)의 이등분선 위에도 있습니다. 세 내각의 이등분선은 모두 점 \(\mathrm{I}\)에서 만납니다.

삼각형의 모양을 바꾸며 내심 논증하기

꼭짓점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)를 드래그하여 삼각형을 바꾸고, 오른쪽의 확인란을 위에서부터 한 단계씩 선택하세요.

단계별 확인

두 내각의 이등분선과 세 수선의 발을 확인합니다.
RHA 합동으로 \(\overline{\mathrm{ID}}=\overline{\mathrm{IE}}=\overline{\mathrm{IF}}\)를 얻는 과정을 확인합니다.
RHS 합동으로 마지막 각도 이등분됨을 확인합니다.
삼각형의 모양을 바꾸어도 내심이 항상 내부에 있는지 살펴봅니다.

정삼각형의 외심과 내심이 일치함을 확인하기

슬라이더를 오른쪽으로 움직여 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)를 정삼각형의 위치로 옮기고, 외심 \(\mathrm{O}\)와 내심 \(\mathrm{I}\)의 움직임을 비교하세요.

정삼각형 만들기 0%

외접원과 외심 \(\mathrm{O}\) 내접원과 내심 \(\mathrm{I}\)

일반 삼각형 외심과 내심은 서로 다른 위치에 있습니다.

내심과 각의 크기

\(\mathrm{I}\)가 \(\triangle \mathrm{ABC}\)의 내심이면 다음 관계가 성립합니다.

\(\angle \mathrm{BIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{A}\)

내접원의 반지름과 넓이

내접원의 반지름을 \(r\), 세 변의 길이를 \(a,b,c\)라고 하면 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다.

\(S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)

외심과의 차이: 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있지만, 내심은 세 변에서 같은 수직거리에 있습니다. 내심은 삼각형의 모양과 관계없이 항상 내부에 있습니다.

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핵심 정리와 확인

외심세 변의 수직이등분선의 교점이며 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있습니다.

내심세 내각의 이등분선의 교점이며 세 변에서 같은 수직거리에 있습니다.

이등변삼각형의 꼭지각 이등분선이 밑변과 이루는 각은 몇 도인가요?

밑변을 수직이등분하므로 \(90^\circ\)입니다.

직각삼각형 두 개의 빗변과 다른 한 변이 각각 같을 때 사용하는 합동 조건은 무엇인가요?

RHS 합동입니다.

직각삼각형의 외심은 어디에 있나요?

빗변의 중점에 있습니다.

내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 어떤 관계인가요?

세 수직거리가 모두 같습니다.

정삼각형의 외심과 내심은 어떤 관계인가요?

대칭성 때문에 외심과 내심이 한 점에서 일치합니다.