MATH TIME
MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.
필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.
중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.
주요 콘텐츠
학습 목적에 맞는 영역을 살펴보세요.
진법, 수 체계, 도형, 통계 등 수학 개념을 시각화하거나 직접 조작하며 원리를 탐구합니다.
상단 Labs 메뉴에서 선택번호 뽑기, 타이머, 사다리 타기, 단위 변환 등 수업과 학습에 필요한 보조 도구를 제공합니다.
상단 도구 모음에서 선택계산, 추론, 규칙 발견, 전략 활동을 통해 수학적 사고를 자연스럽게 연습할 수 있습니다.
상단 Math Games에서 선택수학 탐구, 도구 모음, 수학 게임은 별도의 대표 페이지 없이 상단 네비게이션의 드롭다운 메뉴에서 원하는 콘텐츠로 바로 이동합니다.
일부 페이지는 기존 구성으로 제공될 수 있으며, 준비가 완료되는 대로 새로운 내용으로 업데이트됩니다.
생각하는 힘을 기르는 수학
어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.
오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.
“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”
MIDDLE SCHOOL GEOMETRY
입체도형의 성질
다면체와 회전체의 생김새를 관찰하고, 전개도와 밑넓이·높이의 관계를 이용해 겉넓이와 부피의 원리를 이해합니다.
- 1다면체
- 2회전체
- 3겉넓이와 부피
- 4구
다면체
다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라고 합니다.
각기둥
서로 평행하고 합동인 두 밑면과 직사각형인 옆면으로 이루어집니다.
각뿔
한 개의 다각형인 밑면과 한 꼭짓점에서 만나는 삼각형인 옆면으로 이루어집니다.
각뿔대
각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 두 입체 중 각뿔이 아닌 쪽입니다.
다면체 관찰하기
도형을 선택하고 회전 각도를 바꾸며 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 확인해 보세요.
면: 5개
모서리: 9개
꼭짓점: 6개
\(n\)각기둥은 면 \(n+2\)개, 모서리 \(3n\)개, 꼭짓점 \(2n\)개이고, \(n\)각뿔은 면 \(n+1\)개, 모서리 \(2n\)개, 꼭짓점 \(n+1\)개입니다.
정다면체는 왜 다섯 종류뿐일까?
모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같은 볼록 다면체를 정다면체라고 합니다. 한 꼭짓점에는 세 면 이상이 모여야 하고, 그 각의 합은 \(360^\circ\)보다 작아야 하므로 가능한 종류가 제한됩니다.
볼록 다면체에서 꼭짓점 수를 \(V\), 모서리 수를 \(E\), 면의 수를 \(F\)라고 하면 \(V-E+F=2\)입니다.
회전체
평면도형을 한 직선을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시킬 때 생기는 입체도형입니다.
평면도형을 회전시키면
평면도형을 선택하고 회전 각도를 바꾸어 보세요. 완성된 입체에서 실선은 보이는 윤곽, 점선은 가려진 윤곽을 나타냅니다.
회전축에 수직인 단면: 원
회전축을 포함하는 단면: 직사각형
회전체의 내부를 지나는 단면은 원이 됩니다. 원뿔의 꼭짓점처럼 끝점에서는 한 점이 될 수도 있습니다.
회전축에 대하여 선대칭인 단면이 됩니다. 원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형입니다.
원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체 중 원뿔이 아닌 쪽입니다. 두 밑면은 서로 평행한 원입니다.
기둥과 뿔의 겉넓이와 부피
겉넓이는 전개도의 각 부분을 더하고, 부피는 밑넓이와 높이의 관계를 이용합니다.
기둥의 겉넓이
두 밑면의 넓이와 옆넓이를 더합니다. 각기둥의 옆넓이는 밑면의 둘레와 높이의 곱입니다.
뿔의 겉넓이
한 밑면의 넓이와 모든 옆면의 넓이를 더합니다. 원뿔의 옆면을 펼치면 부채꼴이 됩니다.
원기둥의 전개도와 겉넓이
반지름과 높이를 바꾸어 직사각형인 옆면의 가로가 왜 \(2\pi r\)인지 확인해 보세요.
\(2\times\text{밑넓이}=18\pi\,\mathrm{cm}^2\)
\(\text{옆넓이}=30\pi\,\mathrm{cm}^2\)
\(\text{겉넓이}=48\pi\,\mathrm{cm}^2\)
부피
기울어진 모서리나 원뿔의 모선 \(l\)은 높이 \(h\)가 아닙니다. 부피 공식에는 밑면과 꼭짓점 또는 다른 밑면 사이의 수직거리를 사용합니다.
뿔의 부피가 \(\dfrac{1}{3}\)인 까닭 확인하기
같은 밑넓이 \(S\)와 높이 \(h\)인 뿔 모양 용기의 내용물을 기둥 모양 용기에 세 번 부어 보세요.
아직 붓지 않았습니다.
\(\text{기둥}=Sh=144\,\mathrm{cm}^3\)
\(\text{뿔}=\dfrac{1}{3}Sh=48\,\mathrm{cm}^3\)
뿔 3개분 = 기둥 1개분
구의 겉넓이와 부피
구는 반원을 그 지름을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시킬 때 생기는 입체도형이며, 그 표면을 구면이라고 합니다.
원뿔·구·원기둥의 공식 비교하기
세 도형의 반지름은 \(r\), 원뿔과 원기둥의 높이는 \(2r\)입니다. \(r\)을 바꾸어 세 도형의 부피와 부피비를 확인해 보세요.
\(V=18\pi\,\mathrm{cm}^3\)
부피 1\(V=36\pi\,\mathrm{cm}^3\)
부피 2\(V=54\pi\,\mathrm{cm}^3\)
부피 3반지름이 \(r\)이고 높이가 \(2r\)인 원기둥과 원뿔, 반지름이 \(r\)인 구를 비교하면 \(\text{원뿔}:\text{구}:\text{원기둥}=1:2:3\)입니다. 따라서 구와 원뿔의 부피를 더하면 원기둥의 부피와 같습니다.
연결해서 생각하기
플라톤의 다섯 입체
고대 그리스에서는 다섯 정다면체를 자연을 설명하는 상징과 연결했습니다. 오늘날에는 결정 구조, 분자 모형, 게임용 주사위 등에서 볼 수 있습니다.
아르키메데스 입체
두 종류 이상의 정다각형으로 이루어지지만 모든 꼭짓점에서 면이 같은 순서로 만나는 볼록 다면체입니다. 깎은 정이십면체가 대표적인 예입니다.
구에는 전개도가 없습니다
구면을 찢거나 늘이지 않고 평면에 완전히 펼칠 수는 없습니다. 그래서 지구를 평면 지도에 나타내면 모양, 넓이, 거리 중 일부가 반드시 왜곡됩니다.
스스로 확인하기
육각기둥의 면, 모서리, 꼭짓점은 각각 몇 개인가요?
면은 \(6+2=8\)개, 모서리는 \(3\times6=18\)개, 꼭짓점은 \(2\times6=12\)개입니다.
직사각형을 한 변을 회전축으로 하여 한 바퀴 회전시키면 어떤 입체도형이 생기나요?
원기둥이 생깁니다. 회전축에 수직인 단면은 원이고, 회전축을 포함하는 단면은 직사각형입니다.
반지름이 \(3\,\mathrm{cm}\), 높이가 \(5\,\mathrm{cm}\)인 원기둥의 겉넓이를 구하세요.
\(2\pi\times3^2+2\pi\times3\times5=48\pi\,\mathrm{cm}^2\)입니다.
밑넓이가 \(27\,\mathrm{cm}^2\), 높이가 \(10\,\mathrm{cm}\)인 뿔의 부피를 구하세요.
\(\dfrac{1}{3}\times27\times10=90\,\mathrm{cm}^3\)입니다.
반지름이 \(3\,\mathrm{cm}\)인 구의 겉넓이와 부피를 구하세요.
겉넓이는 \(4\pi\times3^2=36\pi\,\mathrm{cm}^2\)입니다.
부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi\times3^3=36\pi\,\mathrm{cm}^3\)입니다.