수학시간

MIDDLE SCHOOL GEOMETRY

평면도형의 성질

다각형을 삼각형으로 나누어 각의 규칙을 찾고, 원 전체에 대한 비율로 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 이해합니다.

  1. 1대각선
  2. 2내각과 외각
  3. 3원
  4. 4부채꼴
1

다각형의 대각선

대각선은 다각형의 서로 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분입니다.

대각선의 개수는 왜 \(\dfrac{n(n-3)}{2}\)개일까?

한 꼭짓점에서 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 제외하므로 \(n-3\)개를 그을 수 있습니다.
모든 꼭짓점에서 꼭짓점이 \(n\)개이므로 일단 \(n(n-3)\)개로 셉니다.
두 번 센 것을 정리 각 대각선을 양 끝점에서 한 번씩 세었으므로 \(2\)로 나눕니다.
\(n\)각형의 대각선의 개수
\(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\)
예: 칠각형

한 꼭짓점에서는 \(7-3=4\)개를 그을 수 있고, 전체 대각선은 \(\dfrac{7\times4}{2}=14\)개입니다.

다각형의 대각선 탐구

변의 개수와 표시 방법을 바꾸며 한 꼭짓점에서 센 값과 전체 개수를 비교해 보세요.

대각선 표시
계산 결과

한 꼭짓점: 2개

전체: 5개

2

다각형의 내각과 외각

한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형으로 나누면 내각의 합을 설명할 수 있습니다.

내각의 크기의 합

\(n\)각형은 한 꼭짓점에서 \(n-2\)개의 삼각형으로 나뉩니다.

\(n\)각형의 내각의 크기의 합
\(180^\circ\times(n-2)\)

외각의 크기의 합

각 꼭짓점에서 같은 방향으로 한 개씩 잡은 외각의 크기의 합은 항상 같습니다.

다각형의 외각의 크기의 합
\(360^\circ\)
삼각형의 한 외각

삼각형의 한 외각의 크기는 그 외각과 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같습니다. 삼각형의 세 내각의 합이 \(180^\circ\)이고, 이웃한 내각과 외각의 합도 \(180^\circ\)이기 때문입니다.

정\(n\)각형의 한 내각

\(\displaystyle \frac{180^\circ(n-2)}{n}\)

정\(n\)각형의 한 외각

\(\displaystyle \frac{360^\circ}{n}\)

내각과 외각의 관계

이 페이지에서는 볼록다각형을 다룹니다. 한 꼭짓점에서 내각과 그에 이웃한 외각의 크기의 합은 \(180^\circ\)이며, 외각은 각 꼭짓점에서 같은 방향으로 하나씩 정해야 합니다.

삼각형 분할과 외각 확인

삼각형 분할에서는 내각의 합을, 외각 확인에서는 한 바퀴 도는 동안 방향이 모두 \(360^\circ\) 바뀌는 것을 확인합니다.

확인할 성질
삼각형 분할

삼각형 3개

내각의 합: 540°

3

원과 원주율

원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 그 기준이 되는 점을 원의 중심이라고 합니다.

중심·반지름·지름·현·할선

A B C D E 중심 O 반지름 OA 지름 BC 현 DE 할선 l

호·중심각·부채꼴·활꼴

A B C D O 부채꼴 AOB 중심각 ∠AOB 호 AB 활꼴 현 CD 호 CD

용어 정리

중심
원 위의 모든 점에서 같은 거리에 있는 점
반지름
원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분
지름
원의 중심을 지나는 현
호
원 위의 두 점 사이의 원 둘레 부분
현
원 위의 두 점을 이은 선분
할선
원과 서로 다른 두 점에서 만나는 직선
부채꼴
두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형
중심각
부채꼴의 두 반지름이 이루는 각
활꼴
하나의 현과 그에 대응하는 호로 둘러싸인 도형

원주율과 원의 측정

원의 지름에 대한 원주의 비는 원의 크기와 관계없이 일정합니다. 이 일정한 값을 원주율 \(\pi\)라고 합니다.

원의 둘레 \(C\)
\(C=2\pi r\)
원의 넓이 \(S\)
\(S=\pi r^2\)
4

부채꼴의 호의 길이와 넓이

중심각이 원 전체 \(360^\circ\)에서 차지하는 비율만큼 원의 둘레와 넓이를 나누어 생각합니다.

호의 길이 \(l\)

원 둘레 \(2\pi r\)의 \(\dfrac{x}{360}\)만큼입니다.

\(\displaystyle l=2\pi r\times\frac{x}{360}\)

부채꼴의 넓이 \(S\)

원 넓이 \(\pi r^2\)의 \(\dfrac{x}{360}\)만큼입니다.

\(\displaystyle S=\pi r^2\times\frac{x}{360}\)
\(\displaystyle S=\frac12rl\)

부채꼴 측정하기

반지름과 중심각을 바꾸면 호의 길이와 넓이가 같은 비율로 변합니다.

O A B 90° r 호 AB
현재 부채꼴

\(\text{원 전체의 }\dfrac{1}{4}\)

\(l=3\pi\,\mathrm{cm}\)

\(S=9\pi\,\mathrm{cm}^2\)

호와 현을 구별하세요

호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례합니다. 그러나 두 점을 곧게 이은 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않습니다.

+

연결해서 생각하기

평면 채우기

테셀레이션

한 종류의 정다각형만으로 틈이나 겹침 없이 평면을 채우려면 한 점에 모이는 내각의 합이 \(360^\circ\)가 되어야 합니다. 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 가능합니다.

원의 조합

아벨로스

한 큰 반원 안에 두 작은 반원을 나란히 그려 만든 도형입니다. 반원의 넓이와 접하는 원의 성질을 탐구하는 고전적인 소재입니다.

각과 지구

에라토스테네스의 측정

서로 다른 두 지역의 그림자 각을 비교해 지구의 중심각을 추정했습니다. \(7.2^\circ\)는 \(360^\circ\)의 \(\dfrac{1}{50}\)이므로 두 지역 사이 거리의 약 \(50\)배로 지구 둘레를 추정할 수 있습니다.

✓

스스로 확인하기

문제 1

구각형의 대각선은 모두 몇 개인가요?

문제 2

정십각형의 한 내각과 한 외각의 크기를 각각 구하세요.

문제 3

반지름이 \(6\,\mathrm{cm}\), 중심각이 \(120^\circ\)인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하세요.