수학시간

적분의 활용

작은 양을 더해 넓이, 부피, 위치의 변화량과 이동 거리를 계산합니다.

직사각형의 합 두 곡선 사이의 넓이 단면적과 부피 속도와 거리

1정적분과 급수의 합 미적분Ⅱ

곡선 아래를 가느다란 직사각형으로 나누면 직사각형 넓이의 합이 정적분에 가까워집니다.

오른쪽 끝점을 이용한 직사각형의 합

구간 \([a,b]\)을 \(n\)등분하고 각 구간의 오른쪽 끝점을 \(x_k\)로 잡습니다.

\(\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}\)
\(\displaystyle x_k=a+k\Delta x\)
\(\displaystyle R_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n=\int_a^b f(x)\,dx\)

직사각형에서 정적분까지

\(f(x)=-x^2+4x\)의 구간 \([0,3]\)을 나누어 오른쪽 끝점 직사각형의 합을 확인하세요.

함수 오른쪽 끝점 직사각형
4
\(\displaystyle R_4=\sum_{k=1}^{4}f(x_k)\Delta x\)
\(\displaystyle x_k=\frac{3k}{4},\quad\Delta x=\frac34\)
\(\displaystyle =\frac{315}{32}\)
직사각형의 폭 \(\Delta x=\frac34\)
직사각형의 합 \(R_4=\frac{315}{32}\)
정확한 정적분 \(9\)
상대 오차 \(9.375\%\)
\(n\)이 커질수록 직사각형의 합이 \(9\)에 가까워집니다.

시뮬레이션 식의 극한

1단계: 폭과 오른쪽 끝점
\(\displaystyle \Delta x=\frac3n,\qquad x_k=\frac{3k}{n}\)
2단계: 직사각형의 합
\(\displaystyle f\left(\frac{3k}{n}\right)\)
\(\displaystyle =-\left(\frac{3k}{n}\right)^2+4\left(\frac{3k}{n}\right)\)
\(\displaystyle R_n=\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{3k}{n}\right)\frac3n\)
\(\displaystyle =\frac{9(n+1)(2n-1)}{2n^2}\)
3단계: 극한과 정적분
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n=9\)
\(\displaystyle \int_0^3(-x^2+4x)\,dx=9\)

2두 곡선 사이의 넓이 미적분Ⅰ

교점으로 적분 구간을 정하고, 구간에서 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 뺍니다.

1. 교점두 함수의 값이 같은 \(x\)를 찾습니다.
2. 위·아래구간 안의 한 값을 대입해 위치를 판단합니다.
3. 적분위의 함수에서 아래의 함수를 뺍니다.

예제: 포물선과 직선 사이의 넓이

\(y=x^2\)과 \(y=2x+3\)으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구합니다.

1단계: 교점의 \(x\)좌표
\(x^2=2x+3\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1\text{ 또는 }x=3\)
2단계: 넓이의 적분식
\(\displaystyle A=\int_{-1}^{3}(2x+3-x^2)\,dx\)
3단계: 계산
\(\displaystyle A=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3}\)
\(\displaystyle =9-\left(-\frac53\right)\)
\(\displaystyle =\frac{32}{3}\)

3단면적을 이용한 부피 미적분Ⅱ

입체를 매우 얇게 자른 단면의 넓이를 쌓으면 전체 부피를 구할 수 있습니다.

단면적 적분법

\(x\)에서의 단면적을 \(A(x)\)라고 하면 다음과 같습니다.

\(\displaystyle V=\int_a^b A(x)\,dx\)

예제: 원뿔의 부피

높이가 \(h\), 밑면의 반지름이 \(r\)인 원뿔을 꼭짓점에서 밑면 방향으로 자릅니다.

1단계: \(x\)에서의 반지름
\(\displaystyle \rho(x)=\frac{r}{h}x\)
2단계: 단면적
\(\displaystyle A(x)=\pi\{\rho(x)\}^2\)
\(\displaystyle =\frac{\pi r^2}{h^2}x^2\)
3단계: 부피
\(\displaystyle V=\int_0^h\frac{\pi r^2}{h^2}x^2\,dx\)
\(\displaystyle =\frac{\pi r^2}{h^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h\)
\(\displaystyle =\frac13\pi r^2h\)

4속도와 이동 거리 미적분Ⅰ·Ⅱ

속도를 적분하면 위치의 변화량을 얻고, 속력의 크기를 적분하면 이동 거리를 얻습니다.

수직선 위의 운동

\(\displaystyle s(b)-s(a)=\int_a^b v(t)\,dt\)
\(\displaystyle \text{이동 거리}=\int_a^b|v(t)|\,dt\)

좌표평면 위의 운동

\(\displaystyle \text{속력}=\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}\)
\(\displaystyle L=\int_a^b\text{속력}\,dt\)

변위와 이동 거리

\(0\le t\le3\)에서 \(v(t)=t^2-4\)일 때 방향은 \(t=2\)에서 바뀝니다.

변위
\(\displaystyle \int_0^3(t^2-4)\,dt=-3\)
이동 거리
\(\displaystyle \int_0^2(4-t^2)\,dt=\frac{16}{3}\)
\(\displaystyle \int_2^3(t^2-4)\,dt=\frac73\)
\(\displaystyle \text{이동 거리}=\frac{23}{3}\)

평면 위를 움직인 거리

\(x=t^2\), \(y=\frac13t^3-t\), \(0\le t\le\sqrt3\)일 때를 살펴봅니다.

속력
\(\displaystyle \sqrt{(2t)^2+(t^2-1)^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{(t^2+1)^2}=t^2+1\)
이동 거리
\(\displaystyle L=\int_0^{\sqrt3}(t^2+1)\,dt\)
\(\displaystyle =2\sqrt3\)

5심화 탐구: 구의 부피 심화 탐구

반원 \(y=\sqrt{r^2-x^2}\)을 \(x\)축 둘레로 회전시키면 반지름이 \(y\)인 원판이 쌓입니다.

원판의 단면적을 적분하기

1단계: 단면적
\(\displaystyle A(x)=\pi y^2\)
\(\displaystyle =\pi(r^2-x^2)\)
2단계: 대칭성 이용
\(\displaystyle V=2\pi\int_0^r(r^2-x^2)\,dx\)
3단계: 계산
\(\displaystyle V=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^r\)
\(\displaystyle =2\pi\left(r^3-\frac13r^3\right)\)
\(\displaystyle =\frac43\pi r^3\)
범위 확인: 회전체의 겉넓이를 적분으로 유도하려면 곡선의 길이와 회전체 겉넓이 공식이 추가로 필요하므로 이 페이지의 핵심 계산에서는 다루지 않습니다.

6스스로 확인하기

넓이·부피·거리에서 무엇을 적분해야 하는지 확인하세요.

1. 다음 극한을 정적분으로 나타내고 값을 구하세요.

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac1n\)

2. \(y=x\)와 \(y=x^2\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하세요.

3. 단면적이 \(A(x)=x^2+1\)인 입체에서 \(0\le x\le2\)인 부분의 부피를 구하세요.

4. \(0\le t\le2\)에서 속도가 \(v(t)=3t^2-3\)일 때 변위를 구하세요.

5. \(x=3t\), \(y=4t\), \(0\le t\le2\)일 때 점이 움직인 거리를 구하세요.

6. 반지름이 \(3\)인 구의 부피를 적분 결과를 이용해 구하세요.