수학시간

적분

변화율에서 원래 함수를 찾고, 작은 변화가 쌓인 전체 양을 계산합니다.

부정적분: 원래 함수 찾기 정적분: 부호 있는 누적량 활용: 넓이와 이동 거리

1부정적분 미적분Ⅰ

미분한 결과가 \(f(x)\)가 되는 모든 함수를 한꺼번에 나타냅니다.

부정적분의 뜻

\(F'(x)=f(x)\)이면 \(F(x)\)를 \(f(x)\)의 한 부정적분이라고 합니다.

\(\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C\)

\(C\)는 임의의 상수이며 적분상수라고 합니다.

다항함수의 기본 공식

\(\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(n=0,1,2,\ldots\)

각 항을 따로 적분하고, 마지막에 적분상수 \(C\)를 한 번만 씁니다.

적분상수가 필요한 이유: \(x^2\), \(x^2+1\), \(x^2-5\)를 미분하면 모두 \(2x\)입니다. 미분 과정에서 사라진 상수를 \(C\)로 나타냅니다.

예제: 항별로 적분하고 미분으로 확인하기

다음 부정적분을 구합니다.

\(\displaystyle \int(3x^2-4x+5)\,dx\)
풀이
\(\displaystyle \int(3x^2-4x+5)\,dx\)
\(\displaystyle =x^3-2x^2+5x+C\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}(x^3-2x^2+5x+C)=3x^2-4x+5\)

2정적분과 미적분의 기본 정리 미적분Ⅰ

정적분은 구간에서 함수값이 쌓인 양을 부호까지 고려하여 나타냅니다.

미적분의 기본 정리

\(F'(x)=f(x)\)일 때 다음과 같이 계산합니다.

\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b\)
\(\displaystyle =F(b)-F(a)\)
계산 순서: 위끝값을 먼저 대입한 값에서 아래끝값을 대입한 값을 뺍니다.
같은 끝값 \(\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx=0\)
끝값의 순서 교환 \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)
구간 나누기
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\)
\(\displaystyle =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\)

정적분과 도형의 넓이 비교

함수 \(f(x)=\frac12x^2-2\)에서 구간의 양 끝을 움직여 두 값을 비교하세요.

함수 \(x\)축 위 \(x\)축 아래
-3
3
\(\displaystyle \int_{-3}^{3}\left(\frac12x^2-2\right)dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{x^3}{6}-2x\right]_{-3}^{3}\)
\(\displaystyle =F(3)-F(-3)=-3\)
\(x\)축 위 넓이 \(\frac73\)
\(x\)축 아래 넓이 \(\frac{16}{3}\)
정적분 \(-3\)
도형의 넓이 \(\frac{23}{3}\)
정적분은 위 넓이에서 아래 넓이를 뺀 값입니다.

3정적분으로 넓이 구하기 미적분Ⅰ

넓이는 항상 \(0\) 이상이므로 그래프의 위치를 먼저 확인해야 합니다.

곡선과 \(x\)축 사이의 넓이

\(\displaystyle A=\int_a^b |f(x)|\,dx\)

함수의 부호가 바뀌면 \(x\)축과 만나는 점에서 구간을 나눕니다.

두 곡선 사이의 넓이

\(\displaystyle A=\int_a^b\{\text{위의 함수}-\text{아래의 함수}\}\,dx\)

먼저 두 그래프의 교점을 구하고, 구간에서 어느 함수가 위에 있는지 확인합니다.

예제: 직선과 포물선 사이의 넓이

\(y=x+2\)와 \(y=x^2\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구합니다.

1단계: 교점의 \(x\)좌표
\(x^2=x+2\)
\((x+1)(x-2)=0\)
\(x=-1\text{ 또는 }x=2\)
2단계: 위의 함수에서 아래의 함수 빼기
\(\displaystyle A=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}\)
\(\displaystyle =\frac92\)

4누적량과 운동 미적분Ⅰ

정적분은 작은 변화량을 더하여 전체 변화를 구하는 도구입니다.

속도에서 위치의 변화량 구하기

\(\displaystyle s(b)-s(a)=\int_a^b v(t)\,dt\)

변위는 방향을 고려하므로 음수가 될 수 있습니다.

이동 거리 구하기

\(\displaystyle \text{이동 거리}=\int_a^b |v(t)|\,dt\)

속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누어 계산합니다.

예제: 변위와 이동 거리는 다를 수 있다

\(0\le t\le4\)에서 속도가 \(v(t)=2t-4\)일 때를 살펴봅니다.

변위
\(\displaystyle \int_0^4(2t-4)\,dt=0\)
이동 거리
\(\displaystyle \int_0^2(4-2t)\,dt+\int_2^4(2t-4)\,dt\)
\(\displaystyle =4+4=8\)

5여러 가지 함수의 적분법 미적분Ⅱ

지수함수·로그함수·삼각함수의 적분과 치환적분법·부분적분법은 미적분Ⅱ에서 다룹니다.

지수함수와 로그함수

\(\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C\)
\(\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,\ a\ne1)\)
\(\displaystyle \int \frac1x\,dx=\ln|x|+C\quad(x\ne0)\)

삼각함수

\(\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C\)
\(\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C\)
\(\displaystyle \int\sec^2 x\,dx=\tan x+C\)

치환적분법

합성함수의 안쪽 식과 그 미분이 함께 있을 때 새로운 문자로 바꿉니다.

\(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx\)
\(u=x^2+1,\quad du=2x\,dx\)
\(\displaystyle \int u^3\,du=\frac14u^4+C\)
\(\displaystyle =\frac14(x^2+1)^4+C\)

부분적분법

곱의 미분법을 거꾸로 이용합니다.

\(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx\)
\(\displaystyle =f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int xe^x\,dx\)
\(\displaystyle =xe^x-\int e^x\,dx\)
\(\displaystyle =xe^x-e^x+C\)
검산: 부정적분의 결과를 미분하여 처음의 피적분함수가 나오는지 확인하면 부호나 계수의 실수를 찾을 수 있습니다.

6스스로 확인하기

식을 세우는 이유까지 설명할 수 있는지 확인하세요.

1. \(\displaystyle \int(6x^2-4x+3)\,dx\)를 구하세요.

2. \(f'(x)=3x^2-2x\), \(f(1)=4\)일 때 \(f(x)\)를 구하세요.

3. \(\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x+1)\,dx\)를 구하세요.

4. 구간 \(-2\le x\le2\)에서 그래프 \(y=x^2-1\)과 \(x\)축 사이의 넓이를 구하세요.

5. \(\displaystyle \int_0^1 2x(x^2+1)^2\,dx\)를 구하세요.

6. \(\displaystyle \int x\sin x\,dx\)를 구하세요.