수학시간

미분의 활용

도함수의 부호와 값을 이용하여 접선, 함수의 변화, 평균값 정리, 방정식과 부등식, 물체의 운동을 해석합니다.

  • 접선의 방정식을 상황에 맞게 세울 수 있습니다.
  • 도함수로 함수의 증가·감소와 그래프의 모양을 판단합니다.
  • 미분을 방정식·부등식과 운동 문제에 활용합니다.
미적분Ⅰ접선, 증감과 극값, 평균값 정리, 직선 운동
미적분Ⅱ오목·볼록과 변곡점, 초월함수의 활용, 평면 운동

1접선의 방정식

곡선 위의 점에서

곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(A(a,f(a))\)에서 접선의 기울기는 \(f'(a)\)입니다.

\(\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)\)

예: \(y=x^2\) 위의 점 \((1,1)\)에서

\(f'(1)=2\)
\(y-1=2(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=2x-1\)

곡선 밖의 점에서

접점을 \(T(t,f(t))\)로 놓고, \(T\)에서의 접선이 주어진 점을 지나도록 \(t\)를 정합니다.

  1. 접점을 \(T(t,f(t))\)로 놓습니다.
  2. 접선 \(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)를 세웁니다.
  3. 주어진 점을 대입하여 \(t\)를 구합니다.

예: 점 \(P(0,-1)\)에서 \(y=x^2\)에 그은 접선

접점을 \(T(t,t^2)\)로 놓으면 접선의 기울기는 \(2t\)입니다.

\(y-t^2=2t(x-t)\quad\Longrightarrow\quad y=2tx-t^2\)
\(-1=-t^2\quad\Longrightarrow\quad t=-1\text{ 또는 }t=1\)
\(t=1:\quad y=2x-1\)
\(t=-1:\quad y=-2x-1\)

2증가·감소, 극값과 그래프의 모양

도함수 \(f'(x)\)의 부호

\(f'(x)>0:\quad f(x)\text{는 증가}\)
\(f'(x)<0:\quad f(x)\text{는 감소}\)

\(f'(a)=0\)이라는 사실만으로는 극값을 단정할 수 없습니다. \(a\)의 양쪽에서 \(f'\)의 부호가 바뀌는지 확인합니다.

부호 변화: \(+\to-\)이면 극대, \(-\to+\)이면 극소입니다.

이계도함수 \(f''(x)\)의 부호

\(f''(x)>0:\quad\text{아래로 볼록}\)
\(f''(x)<0:\quad\text{위로 볼록}\)

\(f''(a)=0\)이라는 사실만으로는 변곡점이 아닙니다. \(a\)의 양쪽에서 오목·볼록이 실제로 바뀌어야 합니다.

도함수와 이계도함수로 그래프 읽기

선택한 \(x\)에서 접선의 기울기와 그래프의 굽은 방향을 함께 확인하세요.

\(\displaystyle f(x)=\frac12x^3-\frac32x^2\) \(\displaystyle f'(x)=\frac32x(x-2)\) \(f''(x)=3(x-1)\)
1
특별한 점: \(x=0\)은 극대, \(x=1\)은 변곡점, \(x=2\)는 극소입니다.
함숫값\(f(1)=-1\)
도함수\(f'(1)=-\dfrac32\)
증가·감소감소
이계도함수\(f''(1)=0\)
그래프의 모양변곡점
선택한 좌표\((1,-1)\)
\(x=1\text{은 변곡점이고 함수는 감소한다.}\)

\(f'\)와 \(f''\)의 부호 정리

\(x<0\)

\(f'(x)>0\)

증가

\(0<x<2\)

\(f'(x)<0\)

감소

\(x>2\)

\(f'(x)>0\)

증가

\(x<1\)

\(f''(x)<0\)

위로 볼록

\(x>1\)

\(f''(x)>0\)

아래로 볼록

3최댓값과 최솟값

극값과 최댓값·최솟값

극대·극소는 한 점 근처에서 비교한 값이고, 최댓값·최솟값은 정의역 전체에서 비교한 값입니다.

주의: 극댓값이 전체 구간의 최댓값과 같다고 단정할 수 없습니다.

닫힌구간에서 비교할 점

  1. 구간 내부에서 \(f'(x)=0\)이거나 미분가능하지 않은 점을 찾습니다.
  2. 그 점들과 구간의 양 끝점에서 함숫값을 구합니다.
  3. 모든 값을 비교하여 최댓값과 최솟값을 정합니다.

예: \(f(x)=x^2-2x\), \(0\le x\le3\)

\(f'(x)=2x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\)
\(f(0)=0,\quad f(1)=-1,\quad f(3)=3\)
\(\text{최솟값 }-1\ (x=1),\quad \text{최댓값 }3\ (x=3)\)

4롤의 정리와 평균값 정리

롤의 정리

\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하며 \(f(a)=f(b)\)이면

\(\displaystyle f'(c)=0\)
\(c\in(a,b)\text{가 적어도 하나 존재}\)
평균값 정리

\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하면

\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
\(c\in(a,b)\text{가 적어도 하나 존재}\)
기하적 의미: 구간 양 끝점을 잇는 할선과 평행한 접선이 구간 내부에 적어도 하나 존재합니다.

평균값 정리 확인

\(f(x)=x^2\)에서 구간의 양 끝점을 바꾸며 할선과 평행한 접선을 확인하세요.

-1
2
평균변화율\(1\)
정리의 \(c\)\(c=\dfrac12\)
접선 기울기\(f'(c)=1\)
\(\displaystyle \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=1=f'\left(\frac12\right)\)

5방정식과 부등식에의 활용

방정식의 실근 개수

\(f(x)=k\)의 실근 개수는 그래프 \(y=f(x)\)와 직선 \(y=k\)의 교점 개수입니다.

예: \(2x^3-3x^2-12x=k\)

  1. \(f'(x)=6(x+1)(x-2)\)이므로 \(x=-1\)에서 극대, \(x=2\)에서 극소입니다.
  2. \(f(-1)=7,\quad f(2)=-20\)입니다.
  3. 서로 다른 세 실근을 가지려면 직선이 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 합니다.
\(-20<k<7\)

부등식의 증명

부등식을 한쪽으로 이항하여 만든 함수의 최솟값이나 최댓값을 이용합니다.

예: 모든 실수 \(x\)에서 \(e^x\ge1+x\)

  1. \(F(x)=e^x-x-1\)로 놓습니다.
  2. \(F'(x)=e^x-1\)은 \(x<0\)에서 음수, \(x>0\)에서 양수입니다.
  3. \(x=0\)에서 최솟값 \(F(0)=0\)을 갖습니다.
\(F(x)\ge0\quad\Longrightarrow\quad e^x\ge1+x\)

6속도와 가속도

위치를 시간으로 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도를 얻습니다.

수직선 위의 운동

\(s=s(t)\)
\(v(t)=s'(t),\quad a(t)=v'(t)=s''(t)\)
\(\text{속력}=|v(t)|\)
  • \(v(t)>0\): 양의 방향으로 운동
  • \(v(t)<0\): 음의 방향으로 운동
  • 방향 전환: \(v=0\)인 시각의 양쪽에서 부호가 바뀜

평면 위의 운동

위치가 \((x(t),y(t))\)일 때 속도와 가속도는 각 성분을 미분하여 구합니다.

\(\displaystyle \vec v(t)=\left(x'(t),y'(t)\right)\)
\(\displaystyle |\vec v(t)|=\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}\)
\(\displaystyle \vec a(t)=\left(x''(t),y''(t)\right)\)

직선 운동 예

점의 위치가 \(s(t)=t^3-6t^2+9t\), \(t\ge0\)일 때

\(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)
\(a(t)=6t-12\)

\(t=1,3\)에서 정지하고, \(0<t<1\)과 \(t>3\)에서는 양의 방향, \(1<t<3\)에서는 음의 방향으로 움직입니다.

공의 포물선 운동

공기 저항을 무시하고 높이 \(h_0\)에서 초속력 \(v_0\), 각 \(\theta\)로 던진 공의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(x(t)=(v_0\cos\theta)t\)
\(\displaystyle y(t)=h_0+(v_0\sin\theta)t-\frac12gt^2\quad(g>0)\)
속도
\(\vec v(t)=(v_0\cos\theta,\ v_0\sin\theta-gt)\)
가속도
\(\vec a(t)=(0,-g)\)

수평 속도는 일정하고 수직 속도만 일정한 비율로 감소하므로 이동 경로가 포물선이 됩니다.

7스스로 확인하기

1. 접선

\(y=x^2\) 위의 점 \((-1,1)\)에서 접선의 방정식을 구하세요.

2. 극대와 극소

\(f'(x)=(x-1)(x+2)\)일 때 극대와 극소가 되는 \(x\)를 구하세요.

3. 닫힌구간의 최대·최소

\(f(x)=x^2-2x\), \(0\le x\le3\)의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

4. 평균값 정리

\(f(x)=x^2\), \([1,3]\)에서 평균값 정리를 만족하는 \(c\)를 구하세요.

5. 실근의 개수

\(2x^3-3x^2-12x=k\)가 서로 다른 세 실근을 갖는 \(k\)의 범위를 구하세요.

6. 속도와 속력

\(s(t)=t^3-3t^2+2t\)일 때 \(t=1\)에서 속도와 속력을 구하세요.