수학시간

도함수와 여러 가지 미분법

두 점 사이의 평균변화율에서 한 점의 순간변화율을 얻고, 도함수를 이용하여 여러 함수의 변화를 계산하는 방법을 학습합니다.

  • 평균변화율과 미분계수의 기하적 의미를 설명합니다.
  • 미분가능성과 연속성의 관계를 구분합니다.
  • 함수의 구조를 파악하여 알맞은 미분법을 선택합니다.
미적분Ⅰ다항함수의 미분계수와 도함수
미적분Ⅱ초월함수와 여러 가지 미분법

1평균변화율에서 미분계수로

평균변화율

함수 \(y=f(x)\)에서 \(x\)가 \(a\)에서 \(a+h\)까지 변할 때, 두 점을 잇는 할선의 기울기입니다.

\(\Delta x=h,\quad \Delta y=f(a+h)-f(a)\)
\(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad(h\ne0)\)

미분계수

두 번째 점을 첫 번째 점에 한없이 가까이 보내어 얻는 평균변화율의 극한값입니다. 그래프에서는 \(x=a\)에서 접선의 기울기입니다.

\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
1두 점을 잡기\(A(a,f(a))\), \(B(a+h,f(a+h))\)
2할선의 기울기두 점 사이의 평균변화율
3\(h\to0\)할선이 접선에 가까워짐

할선이 접선으로 가까워지는 과정

\(f(x)=\dfrac12x^2\), \(A(1,\dfrac12)\)에서 \(h\)를 \(0\)에 가깝게 하며 할선의 기울기를 확인하세요.

2
관찰: \(h\)가 \(0\)에 가까워지면 파란 할선이 붉은 접선과 가까워집니다.
가로 변화량\(\Delta x=2\)
세로 변화량\(\Delta y=4\)
할선의 기울기\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2\)
접선의 기울기\(f'(1)=1\)
\(\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{2}=2\)

2미분가능성과 연속성

미분가능하면 연속

함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면 \(x=a\)에서 반드시 연속입니다.

\(\displaystyle f'(a)\text{가 존재}\)
\(\displaystyle \Longrightarrow\quad\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)

미분계수가 존재하면 \(h\to0\)일 때 \(f(a+h)-f(a)\to0\)이므로 연속 조건을 만족합니다.

역은 성립하지 않음

함수가 연속이어도 뾰족한 점에서는 왼쪽과 오른쪽의 기울기가 달라 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다.

구분: 연속은 그래프가 이어지는 조건이고, 미분가능은 그 점에서 하나의 접선 기울기를 갖는 더 강한 조건입니다.

대표적인 반례: \(f(x)=|x|\)

\(x=0\)에서 함수는 연속이지만 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다릅니다.

\(\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{|h|-0}{h}=-1\)
\(\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{|h|-0}{h}=1\)

따라서 \(f'(0)\)은 존재하지 않습니다.

3도함수와 다항함수의 미분

도함수의 정의

각 \(x\)에서의 미분계수 \(f'(x)\)를 대응시켜 만든 함수를 \(f\)의 도함수라고 합니다.

\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(f'(x)\), \(y'\), \(\dfrac{dy}{dx}\)는 문맥에 따라 도함수를 나타내는 표기입니다.

정의로 \(x^2\) 미분하기

\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\)

상수함수

\((c)'=0\)

거듭제곱

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

\(n\)은 양의 정수

상수배

\(\{cf(x)\}'=cf'(x)\)

합과 차

\(\{f\pm g\}'=f'\pm g'\)

곱의 미분법

\((fg)'=f'g+fg'\)

미분계수

\(f'(a)=\left.f'(x)\right|_{x=a}\)

다항함수 계산 예

\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-5\)의 도함수를 구합니다.

\(\displaystyle f'(x)=2\cdot3x^2-3\cdot2x+4\)
\(\displaystyle f'(x)=6x^2-6x+4\)

4지수·로그·삼각함수의 미분

지수함수

\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'=a^x\ln a\quad(a>0)\)

로그함수

\(\displaystyle (\ln x)'=\frac1x\quad(x>0)\)
\(\displaystyle (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\)

\(a>0,\ a\ne1,\ x>0\)인 범위에서 사용합니다.

삼각함수

\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2x\)
\((\cot x)'=-\csc^2x\)
\((\sec x)'=\sec x\tan x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
각의 단위와 정의역: 이 공식들은 \(x\)를 호도법으로 나타내고 각 함수가 정의되는 범위에서 사용합니다. 예를 들어 \(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x^\circ=\frac{\pi}{180}\cos x^\circ\)입니다.

\((\sin x)'=\cos x\)가 되는 과정

덧셈정리와 기본 극한을 이용하면 다음과 같이 전개됩니다.

\(\displaystyle \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\)
\(\displaystyle =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\)
\(\displaystyle h\to0\text{이면}\quad 0+\cos x=\cos x\)

5여러 가지 미분법

몫의 미분법

\(g(x)\ne0\)인 범위에서 사용합니다.

\(\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

예: \(\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}\)

\(\displaystyle u=x,\quad v=x^2+1,\quad u'=1,\quad v'=2x\)
\(\displaystyle u'v-uv'=1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x=1-x^2\)
\(\displaystyle y'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)

합성함수의 미분법

\(u=g(x)\), \(y=f(u)\)로 나누어 겉함수와 속함수를 차례로 미분합니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\)

예: \(y=(3x^2+1)^5\)

  1. \(u=3x^2+1\)로 놓습니다.
    \(\displaystyle \frac{du}{dx}=6x\)
  2. \(y=u^5\)를 미분합니다.
    \(\displaystyle \frac{dy}{du}=5u^4\)
  3. 두 결과를 곱합니다.
    \(y'=30x(3x^2+1)^4\)

역함수의 미분법

\(y=f^{-1}(x)\)이면 \(x=f(y)\)로 보고 양변을 미분합니다.

\(\displaystyle (f^{-1})'(a)=\frac1{f'(f^{-1}(a))}\)

예: \(f(x)=x^3+x\)에서 \(f(1)=2\), \(f'(1)=4\)이므로

\(\displaystyle (f^{-1})'(2)=\frac14\)

음함수의 미분법

\(y\)를 \(x\)의 함수로 보고 양변을 \(x\)에 대하여 미분합니다.

예: \(x^2+y^2=25\)

\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\ne0)\)
\(\displaystyle (3,4)\text{에서 기울기}=-\frac34\)

매개변수 미분법

\(x=f(t)\), \(y=g(t)\)일 때 각각을 \(t\)로 미분한 뒤 비를 구합니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\ne0\)

예: \(x=t^2,\ y=2t\)

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac1t\quad(t\ne0)\)

이계도함수

도함수 \(f'(x)\)를 다시 미분한 함수입니다. 변화율이 어떻게 변하는지를 나타냅니다.

\(\displaystyle f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2y}{dx^2}\)

예: \(f(x)=x^3-2x\)이면 \(f'(x)=3x^2-2\), \(f''(x)=6x\)입니다.

함수의 구조를 먼저 확인하기

식을 바로 미분하기보다 바깥 구조를 확인하면 적용할 미분법을 쉽게 결정할 수 있습니다.

두 함수의 곱

\((fg)'=f'g+fg'\)

두 함수의 몫

\(\displaystyle (f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

함수 안의 함수

\((f\circ g)'=(f'\circ g)g'\)

6매개변수와 곡선의 접선

곡선을 매개변수로 나타내면 \(y=f(x)\) 꼴로 풀기 어려운 경우에도 접선의 기울기를 구할 수 있습니다.

포물선

\(y^2=4px\)를 \(x=pt^2,\ y=2pt\)로 나타냅니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{2pt}=\frac1t\)

원

\(x^2+y^2=r^2\)을 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)로 나타냅니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{r\cos\theta}{-r\sin\theta}=-\frac{x}{y}\)

타원

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)을 \(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\)로 나타냅니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\cot\theta\)

쌍곡선

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)을 \(x=a\sec\theta,\ y=b\tan\theta\)로 나타냅니다.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{b}{a}\csc\theta\)

7스스로 확인하기

1. 평균변화율

\(f(x)=x^2\)에서 \(x\)가 \(1\)에서 \(3\)까지 변할 때 평균변화율을 구하세요.

2. 다항함수의 도함수

\(f(x)=x^3-2x^2+x\)의 도함수를 구하세요.

3. 미분가능성

\(f(x)=|x|\)가 \(x=0\)에서 미분가능하지 않은 이유를 설명하세요.

4. 합성함수

\(y=e^{2x}\)의 도함수를 구하세요.

5. 거듭제곱 합성함수

\(y=(x^2+1)^3\)의 도함수를 구하세요.

6. 음함수

\(x^2+y^2=25\) 위의 점 \((3,4)\)에서 접선의 기울기를 구하세요.