수학시간

함수의 연속과 초월함수의 극한

한 점에서 함수가 끊어지지 않는 조건을 극한으로 표현하고, 연속함수의 정리를 이용합니다. 이어서 지수·로그·삼각함수의 미분으로 연결되는 기본 극한을 살펴봅니다.

  • 한 점과 구간에서 함수가 연속일 조건을 설명합니다.
  • 최대·최소 정리와 사잇값 정리의 의미를 이해합니다.
  • 자연상수 \(e\)와 초월함수의 기본 극한을 계산에 활용합니다.
미적분Ⅰ함수의 연속과 연속함수의 정리
미적분Ⅱ지수·로그·삼각함수의 기본 극한

1한 점에서의 연속

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 합니다.

1

함숫값이 정의됨

\(f(a)\text{가 존재한다.}\)
2

극한값이 존재함

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\text{가 존재한다.}\)
3

두 값이 서로 같음

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
판단 순서: 함숫값 → 좌극한과 우극한 → 극한값과 함숫값의 일치 여부를 차례로 확인합니다.

그래프로 연속과 불연속 판정하기

그래프 유형을 선택하여 \(x=1\)에서 연속의 세 조건이 어떻게 달라지는지 비교하세요.

함숫값\(f(1)=2\)
극한값\(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=2\)
값의 비교서로 같음
판정
\(x=1\text{에서 연속}\)

2구간에서의 연속과 불연속

열린구간과 닫힌구간

열린구간 \((a,b)\)에서 연속이라는 것은 구간의 모든 점에서 연속이라는 뜻입니다.

닫힌구간 \([a,b]\)에서는 내부의 연속과 함께 양 끝점에서 한쪽 극한을 확인합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=f(a)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to b-}f(x)=f(b)\)

연속함수의 기본 성질

\(f\)와 \(g\)가 \(x=a\)에서 연속이면 다음 함수도 \(x=a\)에서 연속입니다.

합과 차\(f\pm g\)
상수배\(cf\)
곱\(fg\)
몫\(\dfrac{f}{g}\quad(g(a)\ne0)\)
합성함수: \(f\)가 \(a\)에서 연속이고 \(g\)가 \(f(a)\)에서 연속이면 \(g\circ f\)도 \(a\)에서 연속입니다.

없앨 수 있는 불연속

극한값은 존재하지만 함숫값이 없거나 극한값과 다릅니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\ne f(a)\)

뛰는 불연속

좌극한과 우극한이 서로 달라 함수의 극한이 존재하지 않습니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)\ne\lim_{x\to a+}f(x)\)

무한대로 발산하는 불연속

함숫값이 한없이 커지거나 작아져 유한한 극한값이 존재하지 않습니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty\)

매개변수로 연속이 되게 하기

조각별로 정의된 함수가 경계점에서 연속이 되려면 왼쪽 식의 극한값과 오른쪽 식의 함숫값이 같아야 합니다.

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+k&(x<1)\\2x+1&(x\ge1)\end{cases}\)
  1. 왼쪽에서의 극한값을 구합니다.
    \(\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=1+k\)
  2. 오른쪽 극한과 함숫값을 구합니다.
    \(\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=f(1)=3\)
  3. 두 값을 같게 놓습니다.
    \(1+k=3\quad\Longrightarrow\quad k=2\)

3연속함수의 중요한 정리

최대·최소 정리

함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면, 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖습니다.

닫힌구간이 중요: 열린구간에서는 최댓값이나 최솟값이 존재하지 않을 수 있습니다.

사잇값 정리

함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 모든 값 \(k\)에 대하여 \(f(c)=k\)인 \(c\in[a,b]\)가 적어도 하나 존재합니다.

\(\displaystyle f(a)<k<f(b)\Longrightarrow \exists c\in(a,b):f(c)=k\)
방정식의 실근: \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a)f(b)<0\)이면 \(f(c)=0\)인 \(c\in(a,b)\)가 적어도 하나 존재합니다.

사잇값 정리 확인

\(f(x)=x^2-2\)는 \([1,2]\)에서 연속입니다. \(k\)를 바꾸며 \(f(c)=k\)가 되는 점을 확인하세요.

0
왼쪽 끝값\(f(1)=-1\)
오른쪽 끝값\(f(2)=2\)
선택한 값\(k=0\)
사잇값을 만드는 \(c\)
\(c=\sqrt2\approx1.414,\quad f(c)=0\)

4자연상수 \(e\)와 지수·로그함수의 극한

자연상수 \(e\)

수열 \(\left\{\left(1+\dfrac1n\right)^n\right\}\)은 \(n\)이 커질수록 일정한 값에 가까워집니다. 이 극한값을 자연상수 \(e\)라고 합니다.

\(\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n\)
\(e\approx2.7182818\)

함수의 극한으로 나타내기

자연상수는 \(x\to0\)인 함수의 극한으로도 나타낼 수 있습니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e\)

밑 \(1+x\)가 양수인 범위에서 \(x\)가 \(0\)에 가까워지는 상황입니다.

\(\left(1+\dfrac1n\right)^n\)의 변화

\(n\)\(1\)\(2\)\(10\)\(100\)\(1000\)
값\(2\)\(2.25\)\(2.5937\)\(2.7048\)\(2.7169\)

지수함수의 기본 극한

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a\quad(a>0)\)

로그함수의 기본 극한

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log_a(1+x)}{x}=\dfrac1{\ln a}\)

밑이 \(a\)인 로그에서는 \(a>0,\ a\ne1\)이어야 합니다.

밑이 \(a\)인 지수함수의 극한

\(a^x=e^{x\ln a}\)로 나타내고 \(t=x\ln a\)로 놓으면 자연지수함수의 기본 극한을 사용할 수 있습니다.

\(\displaystyle \dfrac{a^x-1}{x}=\dfrac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\cdot\ln a\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=1\cdot\ln a=\ln a\)

5삼각함수의 덧셈정리와 기본 극한

덧셈정리

여러 가지 삼각함수의 미분을 전개할 때 사용하는 기본 관계입니다.

\(\sin(\alpha\pm\beta)\)\(=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)\)\(=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha\pm\beta)\)\(\displaystyle =\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)
범위 확인: 탄젠트 덧셈정리는 식에 나타나는 탄젠트와 분모가 모두 정의되는 범위에서 사용합니다.

삼각함수의 기본 극한

각 \(x\)는 반드시 호도법으로 나타냅니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\)

\(0<|x|<\dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\displaystyle \cos x\le\dfrac{\sin x}{x}\le1\)이고 양쪽이 \(1\)로 수렴하므로 대소 관계로 첫 번째 극한을 얻습니다.

형태를 맞추는 계산

\(\sin u/u\)의 꼴을 만든 뒤 나머지 상수를 분리합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{3x}\cdot\dfrac32=\dfrac32\)

\(1-\cos x\)가 들어 있는 극한

\(1-\cos x=\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}\)를 이용해 기본 극한의 형태로 바꿉니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\dfrac1{1+\cos x}=\dfrac12\)

6스스로 확인하기

1. 연속의 조건

\(f(2)=3\), \(\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=4\)일 때 \(f\)가 \(x=2\)에서 연속인지 판단하세요.

2. 매개변수

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}kx+1&(x<2)\\x^2-1&(x\ge2)\end{cases}\)가 \(x=2\)에서 연속일 때 \(k\)를 구하세요.

3. 사잇값 정리

\(f\)가 \([0,1]\)에서 연속이고 \(f(0)=-2,\ f(1)=3\)일 때 \(f(c)=0\)인 \(c\)의 존재를 설명하세요.

4. 지수함수의 극한

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{3^x-1}{x}\)을 구하세요.

5. 로그함수의 극한

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{x}\)을 구하세요.

6. 삼각함수의 극한

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan5x}{3x}\)을 구하세요.