수학시간

극한

변수나 항이 어떤 값에 한없이 가까워질 때, 함수값과 수열이 향하는 값을 살펴봅니다. 극한은 미분과 적분, 무한급수를 이해하는 출발점입니다.

  • 함숫값과 극한값을 구분하고 좌극한과 우극한을 비교합니다.
  • 극한의 성질과 식의 변형을 이용해 극한값을 계산합니다.
  • 수열의 극한으로 무한급수의 수렴과 발산을 판단합니다.
미적분Ⅰ 함수의 극한과 연속
미적분Ⅱ 수열의 극한과 급수

1함수의 극한

함숫값이 가까워지는 값

\(x\)가 \(a\)와 같지는 않으면서 \(a\)에 한없이 가까워질 때, \(f(x)\)가 일정한 값 \(L\)에 한없이 가까워지면 함수 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다고 합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\)

극한은 \(x=a\)에서의 값이 아니라, \(a\)의 주변에서 함수가 보이는 변화를 관찰합니다.

극한값과 함숫값은 다를 수 있음

\(f(a)\)가 정의되지 않거나, 정의되어 있어도 극한값과 다를 수 있습니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\)
\(f(a)\text{는 }L\text{과 다르거나 정의되지 않을 수 있다.}\)
핵심: 극한을 구할 때는 먼저 \(x=a\)의 주변을 보고, 마지막에 \(f(a)\)와 비교합니다.

좌극한과 우극한

\(a\)보다 작은 쪽에서 접근하는 좌극한과 \(a\)보다 큰 쪽에서 접근하는 우극한이 모두 존재하고 서로 같을 때 함수의 극한이 존재합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=L,\qquad \lim_{x\to a+}f(x)=L\)
\(\displaystyle \Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)=L\)
주의: 좌극한과 우극한이 서로 다르면 \(x\to a\)일 때의 극한은 존재하지 않습니다.

그래프로 확인하는 함수의 극한

\(x\)를 \(1\)에 가까이 보내면서 움직이는 점이 어디로 향하는지 확인하세요. 그래프의 빈 점은 극한으로 가까워지는 위치이고, 채워진 점은 실제 함숫값입니다.

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}&(x\ne1)\\[3pt]3&(x=1)\end{cases}\)
4 / 8
\(x\)의 값\(x=0.75\)
\(f(x)\)의 값\(f(x)=1.75\)
\(1\)과의 거리\(|x-1|=0.25\)
관찰 결과
\(x\to1^{-}\text{일 때 }f(x)\to2\)

2함수의 극한값 계산

극한의 성질

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\), \(\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta\)이고 두 극한이 존재할 때 다음 성질을 사용할 수 있습니다.

합과 차\(\displaystyle \lim_{x\to a}(f\pm g)=\alpha\pm\beta\)
상수배\(\displaystyle \lim_{x\to a}cf=c\alpha\)
곱\(\displaystyle \lim_{x\to a}fg=\alpha\beta\)
몫\(\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f}{g}=\dfrac{\alpha}{\beta}\quad(\beta\ne0)\)

1. 대입하여 계산

다항함수처럼 \(x=a\)에서 연속인 함수는 \(a\)를 직접 대입합니다.

  1. 주어진 식에 \(x=2\)를 대입합니다.
    \(\displaystyle \lim_{x\to2}(x^2-3x+4)\)
  2. 함숫값을 계산합니다.
    \(2^2-3\times2+4=2\)

2. 인수분해 후 약분

대입했을 때 \(\dfrac{0}{0}\)꼴이면, 식을 변형하여 극한값을 찾습니다. \(\dfrac{0}{0}\)은 값이 아니라 계산 방법을 더 찾아야 한다는 신호입니다.

  1. 분자를 인수분해합니다.
    \(\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}\)
  2. \(x\ne2\)인 주변에서는 약분할 수 있습니다.
    \(\displaystyle \lim_{x\to2}(x+2)=4\)

3. 유리화

근호가 있는 식은 분자 또는 분모를 유리화하면 약분할 인수가 나타납니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\dfrac12\)

4. 대소 관계 이용

\(a\)의 주변에서 \(f(x)\le h(x)\le g(x)\)이고 양쪽 함수의 극한값이 같으면 가운데 함수도 같은 값으로 수렴합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L\)
\(\displaystyle \Longrightarrow\quad\lim_{x\to a}h(x)=L\)

무한대로 갈 때

유리함수는 분자와 분모를 최고차항으로 나누어 각 항의 변화를 확인합니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+4}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac3x+\frac1{x^2}}{1+\frac4{x^2}}=2\)

함숫값이 한없이 커질 때

\(x\)가 \(2\)에 가까워질수록 함수값이 양의 방향으로 한없이 커지는 것을 다음과 같이 나타냅니다.

\(\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{1}{(x-2)^2}=\infty\)

\(\infty\)는 실수가 아니라 함수값이 한없이 커진다는 상태를 나타냅니다.

3수열의 극한

항의 번호가 한없이 커질 때

자연수 \(n\)이 한없이 커질 때 수열 \(\{a_n\}\)의 항이 일정한 값 \(\alpha\)에 한없이 가까워지면 수열은 \(\alpha\)에 수렴한다고 합니다.

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)

함수의 극한과 달리 \(n\)은 자연수만 차례로 지나갑니다.

수렴과 여러 가지 발산

  • \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0\): \(0\)에 수렴
  • \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=1\): \(1\)에 수렴
  • \(a_n=(-1)^n\): 두 값을 번갈아 가지므로 발산
  • \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2=\infty\): 한없이 커지므로 발산

수열의 극한에 대한 성질

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta\)이고 두 수열이 수렴할 때, 함수의 극한과 같은 방식으로 합·차·곱·몫의 성질을 사용할 수 있습니다.

합과 차\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta\)
상수배\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}ca_n=c\alpha\)
곱\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta\)
몫\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{\alpha}{\beta}\quad(\beta\ne0)\)

분수식으로 나타낸 수열

분자와 분모를 가장 높은 차수의 항으로 나누면 극한에 영향을 주는 항을 구분할 수 있습니다.

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n}{n^2-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\dfrac{2+\frac3n}{1-\frac1{n^2}}=2\)

수열의 극한과 대소 관계

충분히 큰 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n\le c_n\le b_n\)이고 양쪽 수열이 같은 값으로 수렴하면 가운데 수열도 같은 값으로 수렴합니다.

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\)
\(\displaystyle \Longrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha\)

등비수열 \(\{r^n\}\)의 극한

공비 \(r\)의 범위에 따라 수렴과 발산의 모습이 달라집니다.

\(r>1\)\(+\infty\)로 발산
\(r=1\)\(1\)에 수렴
\(|r|<1\)\(0\)에 수렴
\(r=-1\)\(-1,1\)을 반복
\(r<-1\)부호가 바뀌며 크기가 증가
정리: 등비수열 \(\{r^n\}\)은 \(-1<r\le1\)일 때 수렴합니다. \(r=1\)이면 극한은 \(1\), \(-1<r<1\)이면 극한은 \(0\)입니다.

4무한급수와 부분합

무한히 더한다는 뜻

무한급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)의 수렴은 처음부터 제\(n\)항까지 더한 부분합 \(S_n\)의 극한으로 판단합니다.

\(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}S_n\)

일반항이 \(0\)이어야 하는 이유

급수가 수렴하면 연속한 두 부분합의 차 \(a_n=S_n-S_{n-1}\)은 \(0\)으로 수렴해야 합니다.

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{이 수렴}\ \Longrightarrow\ \lim_{n\to\infty}a_n=0\)
역은 성립하지 않음: \(a_n\to0\)이라는 사실만으로 급수가 수렴한다고 결론 내릴 수 없습니다.

등비급수

첫째항이 \(a\ne0\), 공비가 \(r\)인 등비급수는 부분합 공식과 \(\{r^n\}\)의 극한을 연결하여 판단합니다.

\(\displaystyle S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\quad(r\ne1)\)
\(\displaystyle |r|<1\text{이면 }\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\dfrac{a}{1-r}\)

\(|r|\ge1\)이면 부분합이 한 값에 수렴하지 않으므로 등비급수는 발산합니다.

등비급수의 부분합 확인

첫째항이 \(1\)인 등비급수에서 공비 \(r\)과 더할 항의 개수 \(n\)을 바꾸어 부분합 \(S_n\)의 변화를 확인하세요.

0.5
6
공비\(r=\dfrac12\)
현재 부분합\(S_6=\dfrac{63}{32}\)
수렴 여부수렴
부분합이 향하는 값
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=2\)

조화급수는 왜 발산할까?

\(\dfrac1n\to0\)이지만 조화급수는 수렴하지 않습니다. 항을 다음처럼 묶으면 각 묶음의 합이 적어도 \(\dfrac12\)임을 알 수 있습니다.

\(\displaystyle 1+\dfrac12+\left(\dfrac13+\dfrac14\right)+\left(\dfrac15+\cdots+\dfrac18\right)+\cdots\)
\(\displaystyle \ge1+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\cdots\)

\(\dfrac12\) 이상인 묶음이 계속 추가되므로 부분합은 한없이 커집니다. 따라서 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1n\)은 발산합니다.

5개념 연결하기

함수의 극한, 수열의 극한, 무한급수

개념변화시키는 것관찰하는 것
함수의 극한\(x\to a\) 또는 \(x\to\infty\)\(f(x)\)가 향하는 값
수열의 극한\(n\to\infty\)\(a_n\)이 향하는 값
무한급수\(n\to\infty\)부분합 \(S_n\)이 향하는 값

6스스로 확인하기

1. 좌극한과 우극한

\(\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=3\), \(\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=5\)일 때 \(\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)\)가 존재하는지 판단하세요.

2. 함수의 극한값

\(\displaystyle \lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\)을 구하세요.

3. 수열의 극한

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+1}{2n-4}\)을 구하세요.

4. 등비수열

수열 \(\left\{\left(-\dfrac23\right)^n\right\}\)의 수렴 여부와 극한값을 구하세요.

5. 등비급수

\(\displaystyle 3+1+\dfrac13+\dfrac19+\cdots\)의 합을 구하세요.

6. 급수의 필요조건

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\)일 때 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)의 수렴 여부를 판단하세요.