수학시간

삼각함수

직각삼각형에서 배운 삼각비를 모든 각으로 확장하고, 단위원의 좌표와 주기적인 그래프를 연결해 봅니다.

  • 일반각과 호도법을 이해하고 각의 단위를 바꾸어 나타냅니다.
  • 단위원 위의 점으로 사인·코사인·탄젠트를 정의합니다.
  • 그래프의 주기와 범위를 이용해 삼각방정식을 해결합니다.

1일반각과 호도법

일반각

\(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 정하고, 동경을 회전하여 각을 나타냅니다. 시계 반대 방향은 양의 각, 시계 방향은 음의 각입니다.

\(\theta+2n\pi\quad(n\in\mathbb{Z})\)

한 바퀴가 \(2\pi\)이므로 위 각들은 모두 같은 위치의 동경을 나타냅니다.

호도법

반지름의 길이와 같은 길이의 호가 만드는 중심각의 크기를 \(1\)라디안이라고 합니다.

\(\pi\ \mathrm{rad}=180^\circ\)
\(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}\)

각의 크기 \(\theta\)를 라디안으로 나타내면 부채꼴의 공식이 간단해집니다.

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름이 \(r\), 중심각이 \(\theta\)라디안인 부채꼴에서 다음이 성립합니다.

\(l=r\theta\)
\(S=\dfrac12r^2\theta=\dfrac12rl\)
주의: \(l=r\theta\)와 \(S=\dfrac12r^2\theta\)에서 \(\theta\)는 반드시 호도법으로 나타낸 각이어야 합니다.

2단위원과 삼각함수

삼각비에서 삼각함수로

반지름이 \(r\)인 원 위의 점 \(P(x,y)\)를 생각합니다. 동경 \(OP\)가 나타내는 각을 \(\theta\)라고 하면 다음과 같이 정의합니다.

\(\sin\theta=\dfrac{y}{r},\quad \cos\theta=\dfrac{x}{r}\)
\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\quad(x\ne0)\)

단위원에서는 \(r=1\)이므로 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\)입니다.

기본 관계식

단위원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)과 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\)를 연결하면 다음 관계를 얻습니다.

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0)\)

\(\cos\theta=0\)인 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)에서는 탄젠트가 정의되지 않습니다.

사분면에 따른 부호

제1사분면\(\sin+,\ \cos+,\ \tan+\)
제2사분면\(\sin+,\ \cos-,\ \tan-\)
제3사분면\(\sin-,\ \cos-,\ \tan+\)
제4사분면\(\sin-,\ \cos+,\ \tan-\)

제1사분면의 주요 각

\(0\) \(\sin=0\)\(\cos=1\)\(\tan=0\)
\(\dfrac{\pi}{6}\) \(\sin=\dfrac12\)\(\cos=\dfrac{\sqrt3}{2}\)\(\tan=\dfrac{\sqrt3}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\) \(\sin=\dfrac{\sqrt2}{2}\)\(\cos=\dfrac{\sqrt2}{2}\)\(\tan=1\)
\(\dfrac{\pi}{3}\) \(\sin=\dfrac{\sqrt3}{2}\)\(\cos=\dfrac12\)\(\tan=\sqrt3\)
\(\dfrac{\pi}{2}\) \(\sin=1\)\(\cos=0\)\(\tan\text{은 정의되지 않음}\)

단위원에서 삼각함수 값 확인

일반각을 바꾸며 동경의 위치, 사분면, 사인·코사인·탄젠트 값을 확인하세요.

45°
각의 크기
\(\theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\)
동경의 위치 제1사분면
코사인 \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\)
사인 \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\)
탄젠트 \(\tan\theta=1\)
단위원 위의 점
\(P\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\)

3삼각함수의 그래프

\(y=\sin x\)

정의역: 실수 전체

치역: \(-1\le y\le1\)

주기: \(2\pi\)

원점 대칭인 기함수입니다.

\(y=\cos x\)

정의역: 실수 전체

치역: \(-1\le y\le1\)

주기: \(2\pi\)

\(y\)축 대칭인 우함수입니다.

\(y=\tan x\)

정의역: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)

치역: 실수 전체

주기: \(\pi\)

원점 대칭인 기함수입니다.

삼각함수 그래프의 변환

함수와 계수 \(a,b,q\)를 바꾸며 진폭 또는 세로 확대·축소, 주기와 이동을 확인하세요.

1
1
0
함수의 식
\(y=\sin x\)
진폭 \(|a|=1\)
주기 \(2\pi\)
최댓값과 최솟값 \(-1\le y\le1\)

기본 삼각방정식

\(0\le x<2\pi\)에서 단위원 또는 그래프를 이용해 같은 함수값을 갖는 각을 찾습니다.

\(\sin x=\dfrac12\)

\(x=\dfrac{\pi}{6}\text{ 또는 }x=\dfrac{5\pi}{6}\)

\(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(x=\dfrac{3\pi}{4}\text{ 또는 }x=\dfrac{5\pi}{4}\)

\(\tan x=1\)

\(x=\dfrac{\pi}{4}\text{ 또는 }x=\dfrac{5\pi}{4}\)

4삼각형에의 활용

삼각형 \(ABC\)에서 각 \(A,B,C\)의 맞은편 변의 길이를 각각 \(a,b,c\), 외접원의 반지름을 \(R\)이라 하겠습니다.

사인법칙

한 변과 그 맞은편 각의 관계를 이용합니다.

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
\(\dfrac{a}{\sin A}=2R\)

코사인법칙

두 변과 끼인각 또는 세 변을 알고 있을 때 사용합니다.

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

삼각형의 넓이

\(S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12ca\sin B\)
\(S=\dfrac12ab\sin C\)
\(S=\dfrac{abc}{4R}\)

두 변과 끼인각을 알면 첫 번째 공식을 사용하고, 세 변과 외접원의 반지름을 알면 두 번째 공식을 사용할 수 있습니다.

5스스로 확인하기

1. 호도법

\(300^\circ\)를 호도법으로 나타내 보세요.

2. 삼각함수의 값

\(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\)일 때 \(\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta\)를 구해 보세요.

3. 그래프의 성질

\(y=2\sin(3x)-1\)의 진폭, 주기, 최댓값과 최솟값을 구해 보세요.

4. 삼각방정식

\(0\le x<2\pi\)에서 \(\sin x=\dfrac12\)을 풀어 보세요.