수학시간

지수함수와 로그함수

일정한 비율로 증가하거나 감소하는 현상을 지수함수로 나타내고, 지수를 구하는 역과정을 로그함수로 이해합니다.

  • 밑의 범위에 따른 지수함수와 로그함수의 그래프를 설명합니다.
  • 두 함수가 서로 역함수이며 \(y=x\)에 대하여 대칭임을 확인합니다.
  • 함수의 증가·감소를 이용해 방정식과 부등식을 해결합니다.

1지수함수

뜻과 기본 성질

\(1\)이 아닌 양수 \(a\)에 대하여 실수 \(x\)에 \(a^x\)을 대응시키는 함수를 지수함수라고 합니다.

\(y=a^x\quad(a>0,\ a\ne1)\)
  • 정의역은 실수 전체이고 치역은 양의 실수 전체입니다.
  • 항상 \((0,1)\)을 지나고 \(x\)축을 점근선으로 가집니다.
  • \(a>1\)이면 증가함수이고, \(0<a<1\)이면 감소함수입니다.
  • \(y=a^x\)와 \(y=\left(\dfrac1a\right)^x\)의 그래프는 \(y\)축에 대하여 대칭입니다.

평행이동한 그래프

\(y=a^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(p\), \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동합니다.

\(y=a^{x-p}+q\)
  • 점 \((p,q+1)\)을 지납니다.
  • 점근선은 \(y=q\)입니다.
  • 정의역은 실수 전체이고 치역은 \(y>q\)인 실수입니다.
  • 평행이동해도 밑에 따른 증가·감소는 바뀌지 않습니다.

지수함수 그래프 탐구

밑 \(a\)와 이동량 \(p,q\)를 바꾸며 기준점과 점근선을 확인하세요.

2
1
1
함수의 식
\(y=2^{x-1}+1\)
기준점 \((1,2)\)
점근선 \(y=1\)
정의역과 치역 \(x\in\mathbb{R},\ y>1\)
증가·감소 밑이 1보다 크므로 증가함수입니다.

2지수방정식과 지수부등식

지수방정식

양변의 밑을 같게 만들면 지수를 비교할 수 있습니다.

\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)\)

지수부등식

\(a>1\)이면 부등호 방향을 유지하고 \(0<a<1\)이면 반대로 바꿉니다.

\(a>1\)
\(a^{f(x)}<a^{g(x)}\iff f(x)<g(x)\)
\(0<a<1\)
\(a^{f(x)}<a^{g(x)}\iff f(x)>g(x)\)

예제 1. 지수방정식

\(4^{x-1}=8\)을 풀어 보겠습니다.

  1. 밑을 \(2\)로 통일합니다.
    \(2^{2x-2}=2^3\)
  2. 지수가 같아야 합니다.
    \(2x-2=3\)
  3. 일차방정식을 풉니다.
    \(x=\dfrac52\)

예제 2. 지수부등식

\(\left(\dfrac12\right)^{2x}<\left(\dfrac18\right)^{x-1}\)을 풀어 보겠습니다.

  1. 밑을 \(\dfrac12\)로 통일합니다.
    \(\left(\dfrac12\right)^{2x}<\left(\dfrac12\right)^{3x-3}\)
  2. \(0<\dfrac12<1\)이므로 부등호 방향을 바꿉니다.
    \(2x>3x-3\)
  3. 부등식을 정리합니다.
    \(x<3\)

지수적 감소와 반감기

처음 양이 \(m_0\), 반감기가 \(T\)일 때 \(t\)시간 후 남은 양은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\(m(t)=m_0\left(\dfrac12\right)^{\frac{t}{T}}\)

처음 양의 \(\dfrac18\)이 되었다면 \(\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3\)이므로 반감기가 세 번 지났고, 흐른 시간은 \(3T\)입니다.

3로그함수와 역함수 관계

로그함수의 뜻

지수함수 \(y=a^x\)의 역함수가 로그함수 \(y=\log_a x\)입니다.

\(y=\log_a x\quad(a>0,\ a\ne1,\ x>0)\)
\(\log_a x=y\iff a^y=x\)
  • 정의역은 양의 실수 전체이고 치역은 실수 전체입니다.
  • 항상 \((1,0)\)을 지나고 \(y\)축을 점근선으로 가집니다.
  • \(a>1\)이면 증가함수이고, \(0<a<1\)이면 감소함수입니다.

평행이동과 역함수

\(y=\log_a(x-p)+q\)
  • 정의역은 \(x>p\), 치역은 실수 전체입니다.
  • 점 \((p+1,q)\)을 지나고 점근선은 \(x=p\)입니다.
  • \(y=a^x\)와 \(y=\log_a x\)의 그래프는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭입니다.
  • \((t,a^t)\)와 \((a^t,t)\)는 서로 대칭인 대응점입니다.

지수함수와 로그함수의 대칭

밑 \(a\)와 지수 \(t\)를 바꾸며 두 대응점이 \(y=x\)에 대하여 대칭임을 확인하세요.

2
0.5
지수함수
\(y=2^x\)
로그함수
\(y=\log_2 x\)
대칭축
\(y=x\)
서로 대응하는 두 점
\(P\left(\dfrac12,\sqrt2\right)\longleftrightarrow P'\left(\sqrt2,\dfrac12\right)\)

4로그방정식과 로그부등식

가장 먼저 확인할 것: 로그의 진수는 반드시 양수입니다. 방정식이나 부등식을 푼 뒤 처음에 구한 진수 조건을 만족하는지 확인해야 합니다.

로그방정식

\(\log_a f(x)=\log_a g(x)\iff f(x)=g(x)\)

단, \(f(x)>0\), \(g(x)>0\)이어야 합니다.

로그부등식

\(a>1\)이면 부등호 방향을 유지하고 \(0<a<1\)이면 반대로 바꿉니다.

\(a>1\)
\(\log_a u<\log_a v\iff u<v\)
\(0<a<1\)
\(\log_a u<\log_a v\iff u>v\)

예제 1. 로그방정식

\(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3\)을 풀어 보겠습니다.

  1. 진수 조건을 먼저 구합니다.
    \(x-1>0,\ x-3>0\quad\therefore x>3\)
  2. 로그의 성질을 이용합니다.
    \(\log_2\{(x-1)(x-3)\}=3\)
  3. 지수의 꼴로 바꾸어 풉니다.
    \((x-1)(x-3)=8\)
    \(x=-1\text{ 또는 }x=5\)
  4. 진수 조건 \(x>3\)을 만족하는 값을 선택합니다.
    \(x=5\)

예제 2. 로그부등식

\(\log_{\frac12}(x-1)>-1\)을 풀어 보겠습니다.

  1. 진수 조건을 구합니다.
    \(x>1\)
  2. \(-1=\log_{\frac12}2\)로 나타냅니다.
    \(\log_{\frac12}(x-1)>\log_{\frac12}2\)
  3. 밑이 \(1\)보다 작으므로 부등호 방향을 바꿉니다.
    \(x-1<2\quad\therefore x<3\)
  4. 진수 조건과 함께 정리합니다.
    \(1<x<3\)

로그 척도의 간단한 활용

로그는 매우 넓은 범위의 양을 비교하기 쉬운 크기로 바꾸어 줍니다.

소리의 크기

\(L=10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\)

소리의 강도 \(I\)가 \(10\)배가 되면 소리의 크기 수준 \(L\)은 \(10\,\mathrm{dB}\) 증가합니다.

수소 이온 농도

\(\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]\)

수소 이온 농도가 \(10\)배가 되면 pH는 \(1\)만큼 작아집니다.

지수적 감소

\(m(t)=m_0a^t\quad(0<a<1)\)

일정한 시간마다 같은 비율로 감소하는 양은 지수함수로 나타낼 수 있습니다.

5스스로 확인하기

1. 지수함수의 이동

\(y=3^{x-2}-1\)의 점근선과 그래프가 지나는 기준점을 구해 보세요.

2. 지수부등식

\(\left(\dfrac13\right)^{x+1}\ge\left(\dfrac19\right)^{2x-1}\)을 풀어 보세요.

3. 로그함수의 이동

\(y=\log_2(x+3)-1\)의 정의역과 점근선을 구해 보세요.

4. 로그방정식

\(\log_3(x-1)=2\)를 풀어 보세요.