수학시간

유리함수와 무리함수

분모에 문자가 있는 식과 근호 안에 문자가 있는 식이 나타내는 함수의 그래프를 살펴보고, 정의역·치역과 그래프의 이동을 연결해 봅니다.

  • 점근선과 대칭의 중심으로 유리함수의 그래프를 해석합니다.
  • 시작점과 두 계수의 부호로 무리함수의 방향을 판단합니다.
  • 식, 정의역·치역, 그래프의 특징을 서로 연결합니다.

1유리함수

기본형과 그래프

\(x\)에 대한 유리식으로 나타내어지는 함수를 유리함수라고 합니다. 그중 가장 기본적인 꼴은 다음과 같습니다.

\(y=\dfrac{k}{x}\quad(k\ne0)\)
  • 정의역과 치역은 모두 \(0\)을 제외한 실수 전체입니다.
  • 그래프는 두 점근선 \(x=0\), \(y=0\)에 한없이 가까워집니다.
  • 원점에 대하여 대칭이고, \(k>0\)이면 제1·3사분면에 놓입니다.
  • \(k<0\)이면 제2·4사분면에 놓입니다.

평행이동한 그래프

\(y=\dfrac{k}{x}\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(p\), \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동하면 다음 식을 얻습니다.

\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\quad(k\ne0)\)
  • 점근선: \(x=p\), \(y=q\)
  • 대칭의 중심: \((p,q)\)
  • 정의역: \(x\ne p\), 치역: \(y\ne q\)
  • \(k\)의 부호는 점근선을 기준으로 그래프가 놓이는 사분면을 결정합니다.

분수식에서 점근선 찾기

\(c\ne0\), \(ad-bc\ne0\)일 때 일차식끼리의 몫으로 나타낸 함수는 평행이동한 기본형으로 바꿀 수 있습니다.

1

분자를 분모의 일차식으로 정리

분자 \(ax+b\)를 \(cx+d\)가 나타나도록 고쳐 씁니다.

\(ax+b=\dfrac{a}{c}(cx+d)+\dfrac{bc-ad}{c}\)
2

함수의 식에 대입하여 나누기

정리한 분자를 대입한 뒤 각 항을 \(cx+d\)로 나눕니다.

\(\begin{aligned} y&=\dfrac{ax+b}{cx+d}\\[3pt] &=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)} \end{aligned}\)
3

평행이동한 기본형과 비교

분모를 \(x-p\) 꼴로 보고 \(y=\dfrac{k}{x-p}+q\)와 비교합니다.

\(\begin{aligned} c(cx+d)&=c^2\left(x+\dfrac{d}{c}\right),\\[3pt] x+\dfrac{d}{c}&=x-\left(-\dfrac{d}{c}\right) \end{aligned}\)

\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\)와 계수 비교

분수 부분의 계수 \(k=\dfrac{bc-ad}{c^2}\)
\(x\)축 방향의 이동 \(p=-\dfrac{d}{c}\)
\(y\)축 방향의 이동 \(q=\dfrac{a}{c}\)
두 점근선 \(x=-\dfrac{d}{c},\quad y=\dfrac{a}{c}\)
대칭의 중심 \(\left(-\dfrac{d}{c},\dfrac{a}{c}\right)\)
주의: \(ad-bc=0\)이면 약분 전 제외되는 \(x\)값이 생길 수 있어 위와 같은 쌍곡선이 되지 않습니다.

점근선과 그래프 탐구

\(k,p,q\)를 바꾸며 그래프의 위치와 모양, 대칭의 중심을 확인하세요.

2
1
1
함수의 식
\(y=\dfrac{2}{x-1}+1\)
점근선 \(x=1,\ y=1\)
대칭의 중심 \((1,1)\)
정의역과 치역 \(x\ne1,\ y\ne1\)

2무리함수

기본형 \(y=\sqrt{x}\)

\(x\)에 대한 무리식으로 나타내어지는 함수를 무리함수라고 합니다. 실수 범위에서는 근호 안의 값이 \(0\) 이상이어야 합니다.

\(y=\sqrt{x}\)
  • 정의역: \(x\ge0\), 치역: \(y\ge0\)
  • 그래프는 \((0,0)\)에서 시작하여 오른쪽 위로 뻗습니다.
  • \(y=x^2\ (x\ge0)\)의 그래프와 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭입니다.

이동·대칭·확대와 축소

\(y=a\sqrt{b(x-p)}+q\)
\(a\ne0,\quad b\ne0\)
  • 시작점은 항상 \((p,q)\)입니다.
  • \(b>0\)이면 \(x\ge p\), \(b<0\)이면 \(x\le p\)입니다.
  • \(a>0\)이면 \(y\ge q\), \(a<0\)이면 \(y\le q\)입니다.
  • \(|a|\)와 \(|b|\)는 그래프가 벌어지는 정도를 바꿉니다.

시작점과 그래프 방향 탐구

근호 밖의 계수 \(a\)와 근호 안의 계수 \(b\)를 따로 바꾸며 정의역과 치역을 확인하세요.

1
1
-2
1
함수의 식
\(y=\sqrt{x+2}+1\)
시작점 \((-2,1)\)
정의역과 치역 \(x\ge-2,\ y\ge1\)
그래프 방향 오른쪽 위

3두 함수 비교하기

유리함수

대표식
\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\)
기준 위치
대칭의 중심 \((p,q)\)
정의역
분모가 \(0\)이 되지 않도록 결정
그래프
두 점근선에 가까워지는 두 갈래 곡선

무리함수

대표식
\(y=a\sqrt{b(x-p)}+q\)
기준 위치
시작점 \((p,q)\)
정의역
근호 안이 \(0\) 이상이 되도록 결정
그래프
시작점에서 한쪽으로 뻗는 한 갈래 곡선

4스스로 확인하기

1. 점근선

\(y=-\dfrac{3}{x-2}+1\)의 두 점근선을 구해 보세요.

2. 함숫값

\(f(x)=\dfrac{2}{x+1}-3\)일 때 \(f(0)\)을 구해 보세요.

3. 정의역과 치역

\(y=-2\sqrt{x-1}+3\)의 정의역과 치역을 구해 보세요.

4. 식 세우기

\((2,3)\)에서 시작하여 왼쪽 위로 뻗는 기본 무리함수의 식을 써 보세요.