수학시간

함수와 그래프

함수는 한 집합의 각 원소를 다른 집합의 원소 하나에 대응시키는 규칙입니다. 대응 관계, 합성 순서, 역함수의 존재 조건과 그래프의 대칭성을 차례로 살펴봅시다.

  • 정의역·공역·치역을 구분하고 함수의 종류를 판단할 수 있다.
  • 합성함수의 값과 합성 순서에 따른 차이를 설명할 수 있다.
  • 역함수의 존재 조건과 그래프의 성질을 이해할 수 있다.

1 함수의 뜻과 종류

함수의 정의

두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 \(X\)의 각 원소에 \(Y\)의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수라고 합니다.

\(f:X\longrightarrow Y\)
정의역 입력값 전체의 집합
공역 도착할 수 있도록 정한 집합
치역 실제로 대응된 값의 집합

여러 가지 함수

  • 일대일함수: \(x_1\ne x_2\)이면 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)
  • 일대일대응: 일대일함수이면서 치역과 공역이 같은 함수
  • 항등함수: 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)=x\)
  • 상수함수: 모든 \(x\)가 같은 값 \(c\)에 대응하는 함수
일대일함수라고 해서 반드시 일대일대응인 것은 아닙니다. 치역과 공역이 같은지도 확인해야 합니다.

대응으로 함수 만들기

정의역의 원소를 선택한 뒤 공역의 원소를 선택하세요. 이미 연결된 원소도 다른 값으로 다시 연결할 수 있습니다.

\(X=\{1,2,3\}\), \(Y=\{a,b,c,d\}\)입니다.

현재 대응의 판단 확인 중 계산 중

2 합성함수

함수를 적용하는 순서

\(f:X\to Y\), \(g:Y\to Z\)일 때 먼저 \(f\), 다음에 \(g\)를 적용한 합성함수는

\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)

합성함수에서는 오른쪽에 있는 함수를 먼저 적용합니다.

먼저 \(f\), 다음 \(g\) \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)
먼저 \(g\), 다음 \(f\) \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)
일반적으로 \(g\circ f\ne f\circ g\)이므로 합성 순서를 반드시 확인해야 합니다.

합성함수 계산기

\(f(x)=2x+1\), \(g(x)=x^2\)에서 입력값을 바꾸어 두 합성 순서를 비교하세요.

1
계산 결과 계산 중 계산 중

3 역함수

역함수의 뜻

함수 \(f:X\to Y\)가 일대일대응일 때, 대응 방향을 거꾸로 한 함수를 \(f\)의 역함수라고 합니다.

\(y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\)

함수와 역함수를 이어서 적용하면 처음 원소로 돌아오므로 항등함수가 됩니다.

\(f^{-1}\circ f=I_X,\quad f\circ f^{-1}=I_Y\)

정의역과 치역이 서로 바뀌므로 역함수를 구할 때는 각 함수의 정의역도 확인해야 합니다.

그래프의 대칭성

\(y=f(x)\) 위의 점 \((a,b)\)는 역함수 \(y=f^{-1}(x)\) 위의 점 \((b,a)\)와 대응합니다.

\((a,b)\longleftrightarrow(b,a)\)

두 그래프는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭입니다.

\(y=x^2\)은 실수 전체에서 일대일함수가 아니므로 \(x\ge0\)처럼 정의역을 제한해야 역함수를 정할 수 있습니다.

함수와 역함수의 그래프

함수를 선택하고 원함수 위의 점을 움직여 좌표가 서로 바뀌는 모습을 확인하세요.

2

그래프의 파란 점을 직접 드래그할 수도 있습니다.

함수와 역함수
함수 계산 중
역함수 계산 중
서로 대응하는 점 계산 중

4 스스로 확인하기

1. 정의역의 한 원소가 공역의 서로 다른 두 원소에 대응하면 함수인지 판단하세요.

2. \(X=\{-1,0,1\}\), \(Y=\{0,1\}\)에서 \(f(x)=x^2\)일 때 함수의 종류를 설명하세요.

3. \(f(x)=2x-1\), \(g(x)=x^2\)일 때 \((g\circ f)(2)\)를 구하세요.

4. 위의 두 함수에서 \((f\circ g)(2)\)를 구하고 3번의 결과와 비교하세요.

5. 함수 \(f(x)=3x-2\)의 역함수를 구하세요.