수학시간

도형의 이동

좌표평면에서 점과 도형을 일정한 규칙에 따라 옮기면 좌표와 방정식이 함께 변합니다. 점의 좌표 변화와 도형의 방정식 변화를 구분하여 평행이동과 대칭이동을 탐구해 봅시다.

  • 평행이동한 점의 좌표와 도형의 방정식을 구할 수 있다.
  • 여러 대칭 기준에 따른 좌표 변화를 설명할 수 있다.
  • 이동을 연속해서 적용할 때 순서의 영향을 판단할 수 있다.

1 평행이동

점의 평행이동

점 \(\mathrm{P}(x,y)\)를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하면

\((x,y)\longrightarrow(x+a,y+b)\)

점의 좌표에는 실제 이동량을 그대로 더합니다.

도형의 평행이동

방정식 \(f(x,y)=0\)이 나타내는 도형을 같은 방향으로 평행이동하면

\(f(x-a,y-b)=0\)

새 도형 위의 점 \((x,y)\)를 이동 전 위치 \((x-a,y-b)\)로 되돌려 원래 식에 대입하는 원리입니다.

점의 좌표에는 이동량을 더하지만, 도형의 식에는 반대 부호로 대입합니다.

평행이동 실험실

이동량을 조절하고, 회색 점 또는 원의 중심을 드래그하여 이동 전 위치를 바꿔 보세요.

3
2

격자점에 맞추어 드래그됩니다.

이동 규칙 계산 중 계산 중

2 대칭이동

대칭 기준에 따른 좌표와 방정식의 변화

대칭이동에서는 대칭 기준이 대응하는 두 점을 어떻게 연결하는지 먼저 확인합니다.

\(x\)축 대칭 \((x,y)\to(x,-y)\) \(f(x,-y)=0\)
\(y\)축 대칭 \((x,y)\to(-x,y)\) \(f(-x,y)=0\)
원점 대칭 \((x,y)\to(-x,-y)\) \(f(-x,-y)=0\)
직선 \(y=x\) 대칭 \((x,y)\to(y,x)\) \(f(y,x)=0\)
직선에 대한 대칭에서는 대칭축이 두 대응점을 이은 선분의 수직이등분선이 됩니다. 직선 \(y=-x\)에 대해서는 \((x,y)\to(-y,-x)\)입니다.

대칭이동 실험실

파란 삼각형의 꼭짓점을 드래그하고, 대칭 기준에 따라 대응점의 좌표가 어떻게 변하는지 확인하세요.

파란 꼭짓점 A, B, C를 격자점으로 옮길 수 있습니다.

대칭이동 규칙 계산 중 계산 중

3 일반적인 대칭 기준

직선 \(x=p\)에 대하여

\((x,y)\to(2p-x,y)\)

두 점의 \(x\)좌표의 평균이 \(p\)입니다.

직선 \(y=q\)에 대하여

\((x,y)\to(x,2q-y)\)

두 점의 \(y\)좌표의 평균이 \(q\)입니다.

점 \(\mathrm{C}(p,q)\)에 대하여

\((x,y)\to(2p-x,2q-y)\)

점 \(\mathrm{C}\)가 두 대응점의 중점입니다.

4 연속해서 적용하는 이동

이동의 순서가 결과를 바꿀 수 있습니다

평행이동 \(\mathrm{T}:(x,y)\to(x+2,y+1)\)과 \(x\)축 대칭 \(\mathrm{R}\)을 차례로 적용해 봅시다.

먼저 T, 다음 R \((x,y)\to(x+2,-y-1)\)
먼저 R, 다음 T \((x,y)\to(x+2,-y+1)\)
두 결과가 다르므로 서로 다른 종류의 이동을 합성할 때는 적용 순서를 반드시 확인해야 합니다.

5 스스로 확인하기

1. 점 \(\mathrm{P}(-3,2)\)를 \(x\)축의 방향으로 \(4\), \(y\)축의 방향으로 \(-5\)만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하세요.

2. 직선 \(2x-y+1=0\)을 \(x\)축의 방향으로 \(3\), \(y\)축의 방향으로 \(-2\)만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하세요.

3. 원 \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)를 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하세요.

4. 점 \((3,-1)\)을 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요.

5. 점 \(\mathrm{P}(-1,4)\)를 점 \(\mathrm{C}(2,-1)\)에 대하여 대칭이동한 점 \(\mathrm{P}'\)의 좌표를 구하세요.