수학시간

원의 방정식과 도형의 관계

원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 이 정의를 좌표와 방정식으로 바꾸면 원의 중심과 반지름, 직선과의 교점, 접선의 성질을 계산으로 탐구할 수 있습니다.

  • 원의 방정식에서 중심과 반지름을 찾을 수 있다.
  • 원과 직선의 위치 관계를 두 가지 방법으로 판단할 수 있다.
  • 조건에 맞는 원의 접선의 방정식을 구할 수 있다.

1 원의 방정식

표준형

중심이 \(\mathrm{C}(a,b)\)이고 반지름의 길이가 \(r\;(r>0)\)인 원 위의 점을 \(\mathrm{P}(x,y)\)라고 하면 \(\overline{\mathrm{CP}}=r\)입니다.

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

중심이 원점이면 \(x^2+y^2=r^2\)입니다.

일반형과 완전제곱식

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)을 완전제곱식으로 고치면

\(\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^2\) \(=\dfrac{D^2+E^2}{4}-F\)
중심 \(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\)
반지름의 제곱 \(R^2=\dfrac{D^2+E^2}{4}-F\)

일반형이 실제 원을 나타내는 조건

\(R^2=\dfrac{D^2+E^2}{4}-F\)라고 할 때 우변의 부호를 확인해야 합니다.

\(R^2>0\) 반지름이 양수인 원
\(R^2=0\) 한 점만 나타냄
\(R^2\lt 0\) 실수 범위에서 점이 없음

중심과 반지름으로 원 그리기

중심 \((a,b)\)와 반지름 \(r\)을 바꾸며 방정식과 그래프의 변화를 확인하세요.

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원의 방정식 계산 중

2 원과 직선의 위치 관계

중심과 직선 사이의 거리 이용

원의 중심에서 직선까지의 거리를 \(d\), 반지름을 \(r\)라고 하면 \(d\)와 \(r\)을 비교합니다.

\(d\lt r\) 교점 2개
\(d=r\) 접점 1개
\(d>r\) 교점 없음

연립방정식과 판별식 이용

직선의 식을 원의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 \(D\)라고 하면

  • \(D>0\): 서로 다른 두 실근
  • \(D=0\): 중근
  • \(D\lt 0\): 실근 없음
두 방법은 같은 위치 관계를 서로 다른 관점에서 판단합니다.

위치 관계 확인

원 \(x^2+y^2=4\)와 직선 \(3x-4y+n=0\)의 위치 관계를 확인하세요. \(n=\pm10\)일 때 접합니다.

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거리 계산 계산 중 확인 중

3 원의 접선의 방정식

원 위의 점에서의 접선

점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)이 원 \(x^2+y^2=r^2\) 위에 있으면 \(\mathrm{OP}\)와 접선은 서로 수직입니다.

\(x_1x+y_1y=r^2\)

중심이 \((a,b)\)인 원에서는

\((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\)

기울기가 주어진 접선

원 \(x^2+y^2=r^2\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 직선을 \(y=mx+n\)으로 두면 중심과 직선 사이의 거리가 \(r\)입니다.

\(y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}\)

원 밖의 점에서는 서로 다른 두 접선을 그을 수 있고, 원 안의 점에서는 접선을 그을 수 없습니다.

접선 실험실

기준 원은 \(x^2+y^2=4\)입니다. 상황을 선택하여 접선의 변화를 살펴보세요.

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접선 정보 계산 중

4 확장 탐구: 아폴로니우스의 원

두 점까지의 거리의 비가 일정한 점의 자취

두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BP}}=m:n\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 자취를 생각해 봅시다.

\(n^2\overline{\mathrm{AP}}^2=m^2\overline{\mathrm{BP}}^2\)

\(m\ne n\)이면 이 자취는 원이 되고, \(m=n\)이면 선분 \(\mathrm{AB}\)의 수직이등분선이 됩니다.

이 내용은 원의 방정식과 자취의 개념을 연결하는 확장 탐구입니다.

거리의 비와 자취

\(\mathrm{A}(-3,0)\), \(\mathrm{B}(3,0)\)에 대하여 \(m:n\)을 바꾸어 보세요.

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자취의 정보 계산 중

5 스스로 확인하기

1. 원 \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)의 중심과 반지름을 구하세요.

2. \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\)을 표준형으로 고치고 중심과 반지름을 구하세요.

3. 원 \(x^2+y^2=9\)와 직선 \(y=3\)의 위치 관계를 말하세요.

4. 원 \(x^2+y^2=25\) 위의 점 \((3,4)\)에서의 접선의 방정식을 구하세요.

5. \(x^2+y^2+2x-4y+10=0\)이 나타내는 도형을 설명하세요.