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평면좌표와 직선의 방정식

좌표를 이용하면 도형을 식으로 나타내고, 도형의 성질을 계산으로 확인할 수 있습니다. 이 페이지에서는 두 점 사이의 거리부터 직선의 방정식과 점과 직선 사이의 거리까지 단계적으로 살펴봅니다.

  • 좌표로 거리와 내분점의 위치를 구할 수 있다.
  • 조건에 맞는 직선의 방정식을 세울 수 있다.
  • 두 직선의 관계와 점과 직선 사이의 거리를 판단할 수 있다.

1 두 점 사이의 거리

거리 공식

두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2)\) 사이의 거리는 다음과 같습니다.

\(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

특히 원점 \(\mathrm{O}(0,0)\)과 점 \(\mathrm{P}(x,y)\) 사이의 거리는 \(\sqrt{x^2+y^2}\)입니다.

왜 이 공식이 성립할까?

  1. 가로 방향의 길이는 \(\lvert x_2-x_1\rvert\)입니다.
  2. 세로 방향의 길이는 \(\lvert y_2-y_1\rvert\)입니다.
  3. 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다.

거리 공식 확인

점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)를 드래그하거나 슬라이더를 움직여 가로·세로 변화량을 확인하세요.

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계산 계산 중

2 선분의 내분과 무게중심

내분점의 좌표

점 \(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하여 \(\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n\)일 때

\(\mathrm{P}\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
\(m\)은 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표에, \(n\)은 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표에 곱해집니다. \(m\)이 커질수록 \(\mathrm{P}\)는 \(\mathrm{B}\)에, \(n\)이 커질수록 \(\mathrm{P}\)는 \(\mathrm{A}\)에 가까워집니다.

중점과 삼각형의 무게중심

\(m=n=1\)이면 선분의 중점입니다.

\(\mathrm{M}\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)

삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 각각 더하여 \(3\)으로 나누면 무게중심의 좌표를 얻습니다.

\(\mathrm{G}\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

수직선 위의 내분점

\(\mathrm{A}(2)\), \(\mathrm{B}(8)\)에 대하여 \(m:n\)을 바꾸며 점 \(\mathrm{P}\)의 움직임을 관찰하세요.

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내분점의 좌표 계산 중

3 직선의 방정식

한 점과 기울기를 알 때

기울기가 \(m\)이고 점 \((x_1,y_1)\)을 지나는 직선은

\(y-y_1=m(x-x_1)\)

기울기가 정의되지 않는 수직선은 따로 \(x=x_1\)로 나타냅니다.

서로 다른 두 점을 알 때

\(x_1\ne x_2\)이면 기울기는 \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)이므로

\(y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)

\(x_1=x_2\)이면 두 점을 지나는 직선은 \(x=x_1\)입니다.

두 직선의 위치 관계

관계 \(y=mx+n\), \(y=m'x+n'\) \(ax+by+c=0\), \(a'x+b'y+c'=0\)
평행 \(m=m'\), \(n\ne n'\) \(ab'-a'b=0\), 서로 다른 직선
수직 \(mm'=-1\) \(aa'+bb'=0\)
일치 \(m=m'\), \(n=n'\) \((a,b,c)=k(a',b',c')\)인 \(0\)이 아닌 실수 \(k\)가 존재
기울기의 곱을 이용한 수직 조건은 두 직선이 모두 \(y=mx+n\) 꼴로 나타날 때 사용합니다. 수직선이 포함되면 일반형의 조건을 이용하는 것이 안전합니다.

두 직선의 관계

고정된 직선 \(l:y=2x-1\)과 직선 \(l':y=m'x+n'\)의 관계를 확인하세요.

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판정 계산 중 확인 중

4 점과 직선 사이의 거리

거리 공식

점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)과 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리는 수선의 길이입니다.

\(d=\dfrac{\lvert ax_1+by_1+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

분자의 절댓값 때문에 점이 직선의 어느 쪽에 있더라도 거리는 항상 \(0\) 이상입니다.

공식의 구조

  • 점의 좌표를 \(ax+by+c\)에 대입한 값은 점이 직선에서 얼마나 벗어나 있는지 나타냅니다.
  • 직선의 방정식 전체를 같은 수로 곱해도 거리는 바뀌지 않도록 \(\sqrt{a^2+b^2}\)로 나눕니다.
  • 점이 직선 위에 있으면 \(ax_1+by_1+c=0\)이므로 거리는 \(0\)입니다.

최단 거리 확인

점 \(\mathrm{P}\)를 움직여 직선 \(3x-4y+12=0\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)와 거리를 확인하세요.

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거리 계산 계산 중

5 좌표를 이용한 도형의 성질 증명

좌표는 계산이 간단해지도록 정한다

좌표기하에서 좌표축과 원점은 자유롭게 정할 수 있습니다. 대칭축을 \(y\)축으로 두거나 선분의 중점을 원점으로 두면 계산이 짧아집니다.

  1. 도형의 대칭성과 수평·수직 관계를 살펴 좌표축을 정합니다.
  2. 점의 좌표를 문자로 두고, 구하려는 길이·기울기·중점을 식으로 나타냅니다.
  3. 계산 결과가 주어진 조건이나 결론과 같은지 확인합니다.
예를 들어 선분 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 원점으로 잡으면 \(\mathrm{B}(-a,0)\), \(\mathrm{C}(a,0)\)로 둘 수 있어 중점과 거리 계산이 간단해집니다.

6 스스로 확인하기

1. 두 점 \(\mathrm{A}(-2,1)\), \(\mathrm{B}(4,9)\) 사이의 거리를 구하세요.

2. 점 \(\mathrm{P}\)가 \(\mathrm{A}(-1,2)\), \(\mathrm{B}(5,-4)\)를 이은 선분을 \(2:1\)로 내분할 때 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하세요.

3. 점 \((2,-1)\)을 지나고 기울기가 \(3\)인 직선의 방정식을 구하세요.

4. 두 직선 \(2x-y+1=0\), \(x+2y-4=0\)의 위치 관계를 말하세요.

5. 점 \(\mathrm{P}(1,-2)\)와 직선 \(3x+4y-1=0\) 사이의 거리를 구하세요.