수학시간
고등학교 · 공통수학

방정식의 근을 그래프의 교점으로 해석하기

이차방정식과 이차함수

이차방정식의 실근과 포물선의 교점을 연결하고 판별식으로 위치 관계를 판단합니다. 근과 계수의 관계, 직선과 포물선의 교점과 접선, 닫힌 구간에서의 최대·최소, 매개변수가 포함된 조건까지 고등학교 과정의 핵심 내용을 함께 살펴봅시다.

  • 판별식과 포물선의 \(x\)축과의 위치 관계를 연결한다.
  • 근과 계수의 관계를 그래프의 \(x\)절편과 인수분해형으로 해석한다.
  • 직선과의 교점, 접선, 닫힌 구간의 최대·최소를 방정식으로 해결한다.

판별식과 \(x\)축과의 교점

이차방정식의 서로 다른 실근의 개수는 포물선과 \(x\)축의 교점 개수와 같습니다.

대수적 관점

함숫값이 \(0\)이 되는 \(x\)

\(f(x)=ax^2+bx+c=0\quad(a\ne0)\)

방정식의 실근은 그래프 위에서 \(y=0\)이 되는 점의 \(x\)좌표입니다.

그래프의 관점

판별식의 부호로 교점 개수 판단

\(D=b^2-4ac\)

\(D\)의 부호는 근의 공식에서 제곱근 안의 값이 양수, \(0\), 음수인지를 나타냅니다.

\(D>0\)

서로 다른 두 실근

그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서 만납니다.

\(D=0\)

중근

그래프가 \(x\)축에 한 점에서 접하며 그 점이 꼭짓점입니다.

\(D<0\)

실근이 없음

그래프가 \(x\)축과 만나지 않습니다.

탐구: 계수와 실근의 개수

\(a,b,c\)를 바꾸며 판별식, 근, 포물선과 \(x\)축의 위치 관계를 동시에 확인하세요.

\(y=ax^2+bx+c\)
이차함수 \(y=x^2-x-2\)
서로 다른 두 실근
1
−1
−2

대표 경우

판별식 \(D=9\)
실근 \(x=-1\text{ 또는 }x=2\)

근과 계수의 관계를 그래프로 해석하기

두 실근은 포물선의 \(x\)절편이며 인수분해형에서 그래프의 위치를 바로 읽을 수 있습니다.

인수분해형

두 근이 \(\alpha,\beta\)일 때

\(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

\(x=\alpha,\beta\)에서 \(f(x)=0\)이므로 \(x\)절편은 \((\alpha,0)\), \((\beta,0)\)입니다.

근과 계수

합과 곱으로 그래프 정보 연결

\(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)

두 근의 평균은 축의 \(x\)좌표이므로 \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\dfrac{b}{2a}\)입니다.

두 근의 합

\(\alpha+\beta\)는 두 \(x\)절편의 가운데 위치와 연결됩니다.

두 근의 곱

\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)이므로 \(a,c\)의 부호와 근의 부호를 연결할 수 있습니다.

중근일 때

\(\alpha=\beta=-\dfrac{b}{2a}\)이고 꼭짓점이 \(x\)축 위에 놓입니다.

허근이 있는 경우에도 근과 계수의 관계는 성립하지만, 허근은 실수 좌표평면의 \(x\)절편으로 나타나지 않습니다.

포물선과 직선의 교점·접선

두 식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식으로 위치 관계를 판단합니다.

연립하기

\(y\)값을 같게 놓습니다

\(ax^2+bx+c=mx+n\)

정리한 \(ax^2+(b-m)x+(c-n)=0\)의 실근 개수가 교점 개수입니다.

접선 조건

한 점에서 만날 때 \(D=0\)

\(D'=(b-m)^2-4a(c-n)=0\)

중근이 접점의 \(x\)좌표이며 두 식에 대입하면 접점의 좌표를 구할 수 있습니다.

탐구: \(y=x^2\)과 직선 \(y=mx+n\)

직선을 움직이며 두 점에서 만남, 접함, 만나지 않음을 비교하세요.

\(y=x^2\) \(y=mx+n\)
직선 \(y=x-1\)
교점의 \(x\)좌표를 정하는 방정식 \(x^2-x+1=0\)
만나지 않음
1
−1

대표 위치 관계

판별식 \(D'=-3\)
교점 \(\text{교점 없음}\)
특히 \(y=x^2\)에 기울기가 \(m\)인 접선은 \(m^2+4n=0\)에서 \(n=-\dfrac{m^2}{4}\)이므로 \(y=mx-\dfrac{m^2}{4}\)입니다.

이차함수의 최대·최소

정의역이 수 전체일 때와 닫힌 구간일 때의 판단 방법을 구분합니다.

정의역이 \(\mathbb{R}\)

꼭짓점에서 한 극값만 가집니다

  • \(a>0\): 꼭짓점에서 최솟값, 최댓값은 없음
  • \(a<0\): 꼭짓점에서 최댓값, 최솟값은 없음
닫힌 구간 \(\alpha\le x\le\beta\)

끝점과 구간 안의 꼭짓점을 비교합니다

  1. \(f(\alpha)\), \(f(\beta)\)를 구합니다.
  2. 축 \(x=p\)가 구간 안이면 \(f(p)\)도 구합니다.
  3. 후보 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

탐구: 닫힌 구간에서 \(y=(x-1)^2+1\)

구간의 양 끝점을 바꾸며 끝점과 꼭짓점이 최대·최소 후보가 되는 과정을 확인하세요.

전체 그래프 선택한 구간
정의역 \(-1\le x\le2\)
−1
2
비교할 \(x\) \(-1,1,2\)
최솟값 \(1\) \(x=1\)
최댓값 \(5\) \(x=-1\)

매개변수 문제와 이차부등식으로 확장하기

그래프 조건을 판별식의 등식·부등식으로 바꾸는 것이 고등학교 문제 해결의 핵심입니다.

매개변수 \(t\)

근의 개수를 조건식으로 바꾸기

\(x^2-2tx+t+2=0\)

\(D=4(t-2)(t+1)\)이므로 서로 다른 두 실근을 가지려면 \(t<-1\) 또는 \(t>2\)입니다.

  • 중근: \(t=-1\) 또는 \(t=2\)
  • 실근 없음: \(-1<t<2\)
이차부등식

그래프가 \(x\)축의 위·아래에 있는 구간

\(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta),\quad \alpha<\beta\)

\(a>0\)이면 \(f(x)>0\)은 두 근의 바깥쪽, \(f(x)<0\)은 두 근의 안쪽에서 성립합니다. \(a<0\)이면 부호가 반대입니다.

문제의 문장을 먼저 \(D>0\), \(D=0\), \(D<0\) 또는 그래프의 위·아래 관계로 번역한 뒤 매개변수에 대한 방정식이나 부등식을 풉니다.

스스로 확인하기

먼저 해결한 뒤 정답과 풀이를 펼쳐 확인해 보세요.

1. \(y=2x^2-3x-2\)의 그래프와 \(x\)축의 교점 개수를 판별식으로 판단해 보세요.
\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=25>0\)이므로 서로 다른 두 점에서 만납니다.
2. 이차방정식 \(3x^2-5x-2=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라고 할 때 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)를 구해 보세요.
\(\alpha+\beta=\dfrac53\), \(\alpha\beta=-\dfrac23\)입니다.
3. 직선 \(y=2x+k\)가 포물선 \(y=x^2\)에 접하도록 하는 \(k\)를 구해 보세요.
\(x^2-2x-k=0\)이 중근을 가져야 하므로 \(D=4+4k=0\), 따라서 \(k=-1\)입니다.
4. \(-1\le x\le3\)에서 \(y=(x-1)^2+2\)의 최댓값과 최솟값을 구해 보세요.
끝점과 꼭짓점에서의 값은 \(f(-1)=6\), \(f(3)=6\), \(f(1)=2\)입니다. 따라서 최댓값은 \(6\), 최솟값은 \(2\)입니다.
5. \(x^2-2tx+t+2=0\)이 중근을 갖도록 하는 \(t\)를 구해 보세요.
\(D=4(t-2)(t+1)=0\)이므로 \(t=-1\) 또는 \(t=2\)입니다.