수학시간
고등학교 · 이차함수

식의 세 가지 꼴과 포물선의 성질 연결하기

이차함수와 그래프

이차함수의 일반형과 표준형을 연결하고, 계수가 포물선의 모양과 위치를 어떻게 바꾸는지 살펴봅니다. 꼭짓점과 축을 이용해 그래프의 성질을 읽고 정의역이 수 전체일 때의 최댓값 또는 최솟값을 판단합니다.

  • 이차함수의 일반형과 표준형을 서로 바꾸어 나타낸다.
  • 꼭짓점, 축, 볼록한 방향을 이용해 포물선의 그래프를 해석한다.
  • 정의역이 수 전체일 때 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 구한다.

이차함수의 뜻과 식의 세 가지 꼴

\(x\)에 대한 이차식으로 나타나는 함수와 각 식에서 바로 알 수 있는 정보를 정리합니다.

정의

이차항의 계수는 \(0\)이 아닙니다

\(y=ax^2+bx+c\quad(a\ne0)\)

\(a,b,c\)는 상수이고 \(a\ne0\)일 때 \(y\)를 \(x\)에 대한 이차함수라고 합니다. 그래프는 축에 대하여 대칭인 포물선입니다.

그래프의 핵심

꼭짓점과 축을 먼저 찾습니다

포물선은 축을 기준으로 좌우가 대칭입니다. 꼭짓점은 축 위에 있으며, 그래프가 아래로 볼록하면 가장 낮은 점, 위로 볼록하면 가장 높은 점입니다.

\(\text{꼭짓점 }(p,q),\qquad \text{축 }x=p\)

기본형

\(y=ax^2\)

꼭짓점은 \((0,0)\), 축은 \(x=0\)입니다.

표준형

\(y=a(x-p)^2+q\)

꼭짓점 \((p,q)\)와 축 \(x=p\)를 바로 알 수 있습니다.

일반형

\(y=ax^2+bx+c\)

\(c\)는 \(y\)절편이고 축은 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)입니다.

\(a=0\)이면 이차항이 사라지므로 이차함수가 아닙니다. 아래 탐구의 \(a\) 조절 막대에서도 \(0\)은 선택되지 않습니다.

표준형으로 그래프의 이동 관찰하기

\(y=a(x-p)^2+q\)에서 \(a,p,q\)가 포물선에 미치는 영향을 확인합니다.

탐구: 꼭짓점과 볼록한 방향

\(a\)는 방향과 폭, \(p\)는 좌우 이동, \(q\)는 위아래 이동을 결정합니다.

포물선 대칭축
표준형 \(y=(x-1)^2-2\)
일반형으로 전개 \(y=x^2-2x-1\)
1
1
−2

대표 그래프

꼭짓점 \((1,-2)\)
축 \(x=1\)
정의역 \(x\in\mathbb{R}\)
치역 \(y\ge-2\)
최댓값 또는 최솟값 \(x=1\)에서 최솟값 \(-2\)
정의역이 수 전체일 때 꼭짓점에서 최솟값을 갖고 최댓값은 없습니다.

일반형을 표준형으로 바꾸기

완전제곱식을 만들어 꼭짓점과 축을 찾습니다.

\(a\)로 이차항과 일차항을 묶기

\(y=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c\)

괄호 안에 같은 수를 더하고 빼기

\(y=a\left\{x^2+\dfrac{b}{a}x+ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2- \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right\}+c\)

완전제곱식으로 정리하기

\(y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2}{4a}+c\)

꼭짓점과 축 읽기

\(\begin{aligned} \text{꼭짓점 }&\left(-\dfrac{b}{2a}, c-\dfrac{b^2}{4a}\right)\\ \text{축 }&x=-\dfrac{b}{2a} \end{aligned}\)

탐구: 일반형의 계수와 그래프

\(a,b,c\)를 바꾸며 일반형, 표준형, 꼭짓점과 \(y\)절편을 함께 확인하세요.

포물선 대칭축
일반형 \(y=x^2-4x+3\)
표준형 \(y=(x-2)^2-1\)
1
−4
3

대표 그래프

\(a\): \(a>0\)이므로 아래로 볼록
\(b\): 축은 \(y\)축의 오른쪽
\(c\): \(y\)절편은 \((0,3)\)
꼭짓점: \((2,-1)\)

그래프의 조건으로 이차함수의 식 구하기

주어진 조건에 알맞은 식의 꼴을 선택한 뒤 미지의 계수를 구합니다.

꼭짓점과 한 점을 알 때

\(y=a(x-p)^2+q\)

꼭짓점 \((p,q)\)를 넣고, 다른 한 점을 대입하여 \(a\)를 구합니다.

축과 두 점을 알 때

\(y=a(x-p)^2+q\)

축 \(x=p\)를 이용한 뒤 두 점을 대입하여 \(a,q\)를 구합니다.

서로 다른 세 점을 알 때

\(y=ax^2+bx+c\)

세 점의 좌표를 각각 대입하여 \(a,b,c\)에 대한 연립방정식을 풉니다.

식을 구한 뒤에는 주어진 점의 좌표를 다시 대입하고, 꼭짓점과 축이 조건에 맞는지 확인합니다.

정의역이 수 전체일 때의 최댓값과 최솟값

이 페이지에서는 제한된 구간을 다루지 않고 \(x\)가 모든 실수일 때만 판단합니다.

이 절에서의 정의역 \(x\in\mathbb{R}\), 즉 수 전체
최솟값

\(a>0\): 아래로 볼록

\(y=a(x-p)^2+q\)
  • \((x-p)^2\ge0\)이므로 \(y\ge q\)입니다.
  • \(x=p\)일 때 최솟값은 \(q\)입니다.
  • 위로 끝없이 커지므로 최댓값은 없습니다.
최댓값

\(a<0\): 위로 볼록

\(y=a(x-p)^2+q\)
  • \((x-p)^2\ge0\)이고 \(a<0\)이므로 \(y\le q\)입니다.
  • \(x=p\)일 때 최댓값은 \(q\)입니다.
  • 아래로 끝없이 작아지므로 최솟값은 없습니다.
최댓값 또는 최솟값은 꼭짓점의 \(y\)좌표 \(q\)입니다. 이 결론은 여기서 정한 정의역 \(x\in\mathbb{R}\)을 기준으로 합니다.

스스로 확인하기

먼저 해결한 뒤 정답과 풀이를 펼쳐 확인해 보세요.

1. \(y=2(x-3)^2-1\)의 꼭짓점, 축, 볼록한 방향을 말해 보세요.
꼭짓점은 \((3,-1)\), 축은 \(x=3\)입니다. \(a=2>0\)이므로 아래로 볼록합니다.
2. \(y=x^2-4x+1\)을 표준형으로 나타내고 꼭짓점을 구해 보세요.
\(y=(x-2)^2-3\)이므로 꼭짓점은 \((2,-3)\)입니다.
3. 꼭짓점이 \((1,-2)\)이고 점 \((3,6)\)을 지나는 이차함수의 식을 구해 보세요.
\(y=a(x-1)^2-2\)에 \((3,6)\)을 대입하면 \(6=4a-2\), \(a=2\)입니다. 따라서 \(y=2(x-1)^2-2\)입니다.
4. 정의역이 \(x\in\mathbb{R}\)일 때 \(y=-2(x+1)^2+5\)의 최댓값과 최솟값을 말해 보세요.
\(a=-2<0\)이므로 \(x=-1\)에서 최댓값 \(5\)를 갖습니다. 아래로 끝없이 작아지므로 최솟값은 없습니다.