MATH TIME

MathTime에서 보내는 시간,
수학을 즐기는 수학시간입니다.

필요한 개념을 찾고, 직접 확인하고, 문제를 풀며 수학을 이해하는 시간입니다. 수학시간은 설명의 정확성과 읽기 쉬운 구성, 실제 수업과 학습에서의 활용을 우선합니다.

중학교에서 고등학교까지 이어지는 수학의 흐름을 살펴보고, 개념 탐구 자료와 수업 도구, 사고력 게임을 목적에 맞게 선택할 수 있습니다. 단순히 공식을 모아 놓기보다 서로 연결되는 개념과 실제 활용 방법을 보여 주는 것을 목표로 합니다.

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생각하는 힘을 기르는 수학

어려운 문제를 만났을 때 바로 답이 보이지 않아도 괜찮습니다. 조건을 살펴보고, 규칙을 찾고, 다른 방법을 시도하는 과정에서 논리적으로 생각하는 힘과 새로운 문제에 도전하는 자신감이 자랍니다.

오늘 이해한 한 가지 개념과 끝까지 고민해 본 한 문제가 앞으로 더 큰 문제를 해결하는 든든한 힘이 됩니다.

“수학은 구경하는 스포츠가 아니다. 수학을 이해한다는 것은 수학을 할 수 있다는 뜻이다.”

조지 폴리아

중학교 1학년 · 좌표와 그래프

두 양의 변화에서 일정한 규칙 찾기

정비례와 반비례

한 양이 변할 때 다른 양이 어떻게 변하는지 표로 살펴보고, 변하지 않는 값을 찾아 식과 그래프로 연결합니다. 비슷해 보이는 두 관계를 ‘몫이 일정한가, 곱이 일정한가’로 구별해 봅시다.

표에서 몫 또는 곱이 일정한지 확인하여 두 양의 관계를 구별한다.
정비례와 반비례 관계를 식으로 나타내고 비례상수의 뜻을 설명한다.
비례상수의 부호와 절댓값에 따른 그래프의 변화를 해석한다.

정비례: 몫이 일정한 관계

\(x\)가 2배, 3배가 될 때 \(y\)도 같은 배수로 변한다면 두 값의 몫을 확인합니다.

상황으로 발견하기

한 권에 1,200원인 공책

공책의 수를 \(x\)권, 전체 가격을 \(y\)원이라고 하겠습니다.

공책 \(x\)(권)	0	1	2	3	4
가격 \(y\)(원)	0	1,200	2,400	3,600	4,800

\(x\ne0\)일 때 \(\dfrac{y}{x}=1200\)으로 몫이 일정합니다.
따라서 전체 가격은 \(y=1200x\)로 나타낼 수 있습니다.

정비례의 관계식

\(y=ax \quad (a\ne0)\)

일정한 값 \(a=\dfrac{y}{x}\;(x\ne0)\)를 비례상수라고 합니다. \(x=0\)이면 식에서 \(y=0\)이 됩니다.

정의에서 확인할 점: \(x\)와 \(y\)가 단순히 함께 커진다는 사실만으로는 정비례라고 할 수 없습니다. \(x\ne0\)인 모든 대응값에서 \(\dfrac{y}{x}\)가 같은지 확인해야 합니다.

\(y=ax\)의 그래프

비례상수 \(a\)를 바꾸며 직선의 방향과 기울어진 정도를 관찰합니다.

y = 1.5x

비례상수의 변화에 따른 그래프의 특징을 표시합니다.

비례상수 \(a\) 1.5

대표 값 바로 보기

관찰: 모든 직선은 원점 \(O\)를 지나며, \(a\)의 부호가 바뀌면 직선의 방향이 달라집니다.

\(x\)	−2	−1	0	1	2
\(y=ax\)	−3	−1.5	0	1.5	3

\(a>0\)

그래프는 제1사분면과 제3사분면을 지나며 오른쪽 위로 향합니다.

\(a<0\)

그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지나며 오른쪽 아래로 향합니다.

\(\lvert a\rvert\)가 클수록

같은 \(x\)의 변화에 대한 \(y\)의 변화가 커져 직선이 \(y\)축에 가까워집니다.

반비례: 곱이 일정한 관계

\(x\)가 2배, 3배가 될 때 \(y\)가 \(\dfrac12\)배, \(\dfrac13\)배가 된다면 두 값의 곱을 확인합니다.

상황으로 발견하기

넓이가 24 cm²인 직사각형

가로의 길이를 \(x\)cm, 세로의 길이를 \(y\)cm라고 하겠습니다.

가로 \(x\)(cm)	1	2	3	4	6
세로 \(y\)(cm)	24	12	8	6	4

모든 대응값에서 \(xy=24\)로 곱이 일정합니다.
따라서 세로의 길이는 \(y=\dfrac{24}{x}\)로 나타낼 수 있습니다.

반비례의 관계식

\(y=\dfrac{a}{x} \quad (a\ne0,\ x\ne0)\)

일정한 값 \(a=xy\)를 비례상수라고 합니다. \(x=0\)에서는 나눗셈을 할 수 없으므로 대응하는 \(y\)가 없습니다.

반비례의 ‘반’은 반대 방향이라는 뜻만은 아닙니다. \(x\)가 \(k\)배가 될 때 \(y\)가 \(\dfrac1k\)배가 되어 \(xy\)가 일정하게 유지된다는 뜻입니다.

\(y=\dfrac{a}{x}\)의 그래프

비례상수 \(a\)를 바꾸며 두 곡선이 놓이는 사분면과 원점에서 떨어진 정도를 관찰합니다.

y = 4/x

비례상수의 변화에 따른 그래프의 특징을 표시합니다.

비례상수 \(a\) 4

대표 값 바로 보기

관찰: 그래프는 두 부분으로 나뉘며 좌표축에 계속 가까워지지만 좌표축과 만나지는 않습니다.

\(x\)	−4	−2	−1	1	2	4
\(y=\dfrac{a}{x}\)	−1	−2	−4	4	2	1

\(a>0\)

그래프의 두 부분은 제1사분면과 제3사분면에 놓입니다.

\(a<0\)

그래프의 두 부분은 제2사분면과 제4사분면에 놓입니다.

\(\lvert a\rvert\)가 클수록

같은 \(x\)에서 \(\lvert y\rvert\)가 커져 그래프가 원점에서 더 멀어집니다.

두 관계를 한눈에 비교하기

식의 모양만 외우지 말고 무엇이 일정한지와 그래프의 특징을 함께 연결합니다.

정비례

관계식: \(y=ax\)
일정한 값: \(\dfrac{y}{x}=a\;(x\ne0)\)
그래프: 원점을 지나는 한 직선
\(x=0\): \(y=0\)이 대응합니다.

반비례

관계식: \(y=\dfrac{a}{x}\)
일정한 값: \(xy=a\)
그래프: 두 부분으로 나뉜 한 쌍의 곡선
\(x=0\): 대응하는 \(y\)가 없습니다.

정비례로 볼 수 있는 상황

단가가 일정할 때 물건 수와 전체 가격, 속력이 일정할 때 시간과 이동 거리처럼 ‘한 단위당 양’이 일정한 경우입니다.

반비례로 볼 수 있는 상황

이동 거리가 일정할 때 속력과 걸린 시간, 직사각형의 넓이가 일정할 때 가로와 세로의 길이처럼 ‘두 양의 곱’이 일정한 경우입니다.

실생활의 관계는 조건에 따라 정확한 정비례나 반비례가 아닐 수도 있습니다. 다른 조건이 일정하다고 볼 수 있는 범위에서 관계를 해석해야 합니다.

스스로 확인하기

먼저 해결한 뒤 정답과 풀이를 펼쳐 확인해 보세요.

1. \(y=-3x\)에서 \(x=2\)일 때 \(y\)의 값을 구하고, 그래프가 지나는 사분면을 말해 보세요.

\(y=-3\times2=-6\)입니다. 비례상수가 음수이므로 그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지납니다.

2. \(x=4\), \(y=6\)인 한 쌍의 값이 반비례 관계에 있습니다. \(x=8\)일 때 \(y\)는 얼마인가요?

비례상수는 \(a=xy=4\times6=24\)입니다. 따라서 \(y=\dfrac{24}{8}=3\)입니다.

3. \((x,y)=(1,2),(2,4),(3,6)\)인 관계가 정비례인지 확인해 보세요.

세 대응값에서 \(\dfrac{y}{x}=2\)로 일정합니다. 따라서 \(y=2x\)인 정비례 관계입니다.

4. \(y=\dfrac{12}{x}\)와 \(y=\dfrac{3}{x}\) 중 어느 그래프가 원점에서 더 멀리 놓이나요?

비례상수의 절댓값이 더 큰 \(y=\dfrac{12}{x}\)의 그래프가 원점에서 더 멀리 놓입니다.