수학시간

중학교 함수 · 좌표평면과 그래프

위치는 두 수로, 변화는 한눈에

좌표평면과 그래프

수직선이 한 방향의 위치를 나타낸다면 좌표평면은 가로와 세로의 두 방향을 함께 나타냅니다. 좌표로 점의 위치를 정확히 표현하고, 그래프로 두 양 사이의 변화와 상황을 읽어 봅시다.

  • 순서쌍의 순서를 이해하고 좌표평면 위의 점과 좌표를 서로 대응시킨다.
  • 점이 놓인 사분면과 좌표축 위의 점이 가지는 좌표의 특징을 설명한다.
  • 그래프의 축과 단위, 주요 점과 구간을 확인하여 상황의 변화를 해석한다.

순서쌍과 좌표

가로 방향의 위치를 먼저, 세로 방향의 위치를 나중에 나타냅니다.

수직선에서 평면으로

한 수에서 두 수로

수직선 위의 점 \(P\)가 수 \(a\)에 대응할 때 \(P(a)\)로 나타냅니다. 평면에서는 가로와 세로의 위치가 모두 필요하므로 두 수를 사용합니다.

\[ P(a,b) \quad \begin{cases} a:\ x\text{좌표}\\ b:\ y\text{좌표} \end{cases} \]
\((a,b)\)처럼 순서를 정하여 두 수를 짝지은 것을 순서쌍이라고 합니다.
좌표평면의 구성

두 좌표축과 원점

  • \(x\)축: 가로로 놓인 수직선
  • \(y\)축: 세로로 놓인 수직선
  • 원점: 두 축이 만나는 점 \(O(0,0)\)
  • 좌표평면: 두 좌표축이 놓인 평면
\((2,3)\)과 \((3,2)\)는 서로 다른 점입니다. 좌표는 언제나 \(x\)좌표를 먼저 읽습니다.

점 \(P(a,b)\)를 나타내는 순서

① 원점에서 시작 두 좌표축이 만나는 \(O(0,0)\)을 기준으로 합니다.
② \(x\)방향으로 이동 \(a>0\)이면 오른쪽, \(a<0\)이면 왼쪽으로 이동합니다.
③ \(y\)방향으로 이동 \(b>0\)이면 위쪽, \(b<0\)이면 아래쪽으로 이동해 점을 찍습니다.

좌표평면 탐구

점을 직접 찍고 좌표와 사분면을 함께 확인합니다.

탐구: 점의 위치와 좌표

좌표평면을 누르거나 \(x\), \(y\) 값을 입력하세요. 키보드의 방향키로도 점을 한 칸씩 이동할 수 있습니다.

좌표 읽기

점에서 \(x\)축에 수직으로 내려 만나는 수가 \(x\)좌표이고, \(y\)축에 수직으로 이어 만나는 수가 \(y\)좌표입니다.

제2사분면\((-,+)\)
제1사분면\((+,+)\)
제3사분면\((-,-)\)
제4사분면\((+,-)\)

사분면과 좌표축 위의 점

두 좌표의 부호로 점이 놓인 영역을 판단합니다.

사분면의 순서

오른쪽 위에서 반시계 방향으로

제2사분면\(x<0,\ y>0\)
제1사분면\(x>0,\ y>0\)
제3사분면\(x<0,\ y<0\)
제4사분면\(x>0,\ y<0\)
경계에 있는 점

좌표축은 사분면에 포함되지 않는다

  • \(x\)축 위의 점: \((a,0)\)
  • \(y\)축 위의 점: \((0,b)\)
  • 원점: \((0,0)\)
한 좌표가 \(0\)인 점은 좌표축 위에 있으므로 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

상황을 나타낸 그래프 읽기

그래프의 모양만 보지 않고 각 축의 의미와 단위부터 확인합니다.

그래프란?

두 양 사이의 관계를 시각화한 것

그래프는 상황이나 자료에서 서로 관련된 두 양을 좌표평면 위의 점, 선, 곡선 등으로 나타낸 것입니다. \(x\)축이 항상 시간을 뜻하는 것은 아닙니다.

그래프를 읽기 전에 가로축과 세로축이 각각 무엇을 나타내는지, 눈금 한 칸의 크기와 단위가 무엇인지 먼저 확인합니다.
모양의 뜻

축의 의미가 정해진 뒤에 해석한다

  • 오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가면 세로축의 양이 증가합니다.
  • 그래프가 수평이면 세로축의 양이 변하지 않습니다.
  • 오른쪽으로 갈수록 그래프가 내려가면 세로축의 양이 감소합니다.
  • 같은 축과 단위에서는 더 가파른 구간이 더 빠른 변화를 나타냅니다.

탐구: 집에서 학교까지

가로축은 출발 후 시간, 세로축은 집에서 떨어진 거리입니다. 시간 조절 막대를 움직여 각 구간의 상황을 확인하세요.

0분: 집에서 출발
0~6분: 문구점까지 걷기
6~10분: 문구점에 머물기
10~14분: 학교까지 뛰기

그래프를 읽는 순서

① 축과 단위두 축이 나타내는 양과 단위를 확인합니다.
② 주요 점시작점, 끝점, 꺾이는 점의 값을 읽습니다.
③ 구간증가, 감소, 변화 없음과 변화의 빠르기를 비교합니다.
④ 전체 상황각 구간을 연결해 상황을 문장으로 설명합니다.
거리–시간 그래프는 실제로 걸어간 길의 모양이 아닙니다. 그래프가 수평이라는 것은 평평한 길을 걸었다는 뜻이 아니라, 집에서 떨어진 거리가 변하지 않았다는 뜻입니다.

좌표의 확장

좌표는 위치를 수로 바꾸어 기하와 대수를 연결합니다.

해석기하의 출발

도형을 식으로 연구하다

17세기에 데카르트와 페르마는 점과 곡선을 수와 식으로 나타내는 해석기하의 발전에 중요한 역할을 했습니다. 좌표를 이용하면 도형의 성질을 대수적으로 탐구할 수 있습니다.

데카르트가 천장의 파리를 보고 좌표를 생각해 냈다는 이야기는 널리 알려진 일화이지만, 역사적으로 확인된 발명 장면으로 단정하기는 어렵습니다.
차원의 확장

높이까지 나타내려면

평면의 위치는 \((x,y)\)처럼 두 좌표로 나타냅니다. 높이나 깊이까지 포함하는 공간의 위치는 세 번째 좌표를 더하여 \((x,y,z)\)로 나타낼 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} \text{수직선}&:\ (x)\\ &\downarrow\\ \text{평면}&:\ (x,y)\\ &\downarrow\\ \text{공간}&:\ (x,y,z) \end{aligned} \]

스스로 확인하기

먼저 해결한 뒤 정답과 풀이를 펼쳐 확인해 보세요.

1. 점 \(A(-3,2)\)는 어느 사분면의 점인가요?

\(x<0\), \(y>0\)이므로 점 \(A\)는 제2사분면의 점입니다.

2. 점 \(B(4,0)\)은 어느 사분면에 속하나요?

\(y\)좌표가 \(0\)이므로 \(x\)축 위의 점입니다. 따라서 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

3. 거리–시간 그래프가 어떤 구간에서 수평이라면 무엇을 뜻하나요?

그 구간에서는 시간이 지나도 기준점에서 떨어진 거리가 변하지 않는다는 뜻입니다.

4. 점 \(C(2,-1)\)을 좌표평면에 나타내는 이동 순서를 설명해 보세요.

원점에서 오른쪽으로 \(2\)만큼 이동한 뒤, 아래쪽으로 \(1\)만큼 이동하여 점을 찍습니다.