수학시간

2022 개정 고등학교 대수 · 수열

떨어져 있는 항들을 하나의 규칙으로 읽기

수열과 수학적 귀납법

중학교에서 수의 배열에 숨어 있는 규칙을 찾았다면, 수열에서는 그 규칙을 일반항과 귀납적 정의로 표현합니다. 이어서 여러 항의 합을 구조적으로 구하고, 그 결과가 모든 자연수에서 성립함을 수학적 귀납법으로 증명합니다.

  • 수열을 자연수를 정의역으로 하는 함수로 이해하고, 일반항과 귀납적 정의를 구별한다.
  • 등차수열과 등비수열의 일반항 및 합의 공식을 원리에서부터 설명한다.
  • 시그마의 뜻을 해석하고, 수학적 귀납법의 두 단계를 이용해 명제를 증명한다.

수열: 순서가 있는 수의 목록

항의 번호 \(n\)에 수 \(a_n\)을 대응시키는 함수로 바라봅니다.

함수의 관점

정의역은 자연수

수열 \(\{a_n\}\)은 각 자연수 \(n\)에 하나의 수 \(a_n\)을 대응시킵니다. 따라서 수열은 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} \text{항의 번호: }\;&1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ n,\ \ldots\\ \text{항의 값: }\;&a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \end{aligned} \]

\(a_1\)은 첫째항, \(a_n\)은 제\(n\)항 또는 일반항입니다.

두 가지 표현

일반항과 귀납적 정의

일반항은 항의 번호 \(n\)만 알면 원하는 항을 바로 구하게 합니다.

\[a_n=2n-1\]

귀납적 정의는 처음 항과 앞뒤 항의 관계를 함께 제시하여 다음 항을 차례로 결정합니다.

\[ a_1=1,\qquad a_{n+1}=a_n+2 \]

같은 수열을 서로 다른 방법으로 나타내기

항을 나열한다.
\(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots\)
번호와 항의 관계를 찾는다.
\(a_n=2n-1\)
앞뒤 항의 관계를 찾는다.
\(a_{n+1}=a_n+2\)
몇 개의 항만 보고는 규칙이 하나로 결정되지 않습니다. 수열을 정확히 정하려면 일반항이나 귀납적 정의처럼 모든 항을 결정하는 조건이 필요합니다.

등차수열

이웃한 두 항의 차가 일정한 수열입니다.

정의

같은 수를 계속 더한다

등차수열에서는 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 항과 현재 항의 차가 일정합니다. 이 일정한 값을 공차 \(d\)라고 합니다.

\[ a_{n+1}-a_n=d \qquad\Longleftrightarrow\qquad a_{n+1}=a_n+d \]

\(d>0\)이면 증가하고, \(d<0\)이면 감소하며, \(d=0\)이면 모든 항이 같습니다.

일반항의 원리

첫째항에서 \(n-1\)번 이동

첫째항 \(a\)에서 제\(n\)항까지는 공차 \(d\)를 모두 \(n-1\)번 더합니다.

\[ \begin{aligned} a_1&=a,\\ a_2&=a+d,\\ a_3&=a+2d,\\ &\ \vdots\\ a_n&=a+(n-1)d \end{aligned} \]
\(a_n=dn+(a-d)\)는 \(n\)에 대한 일차식입니다. 따라서 점 \((n,a_n)\)들은 기울기가 \(d\)인 직선 위에 놓이지만, \(n\)이 자연수이므로 점들만 나타냅니다.

탐구: 공차와 수열의 점

첫째항과 공차를 바꾸어 점 \((n,a_n)\)의 배열을 확인해 보세요. 점 사이를 선으로 잇지 않습니다.

등차수열의 합

처음부터 더하는 대신, 앞과 뒤의 항을 짝지어 같은 합을 만듭니다.

짝짓기

첫째항과 마지막 항의 합

첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 첫 \(n\)개 항의 합을 \(S_n\)이라 합시다.

\[ \begin{aligned} S_n&=a+(a+d)+\cdots+\{a+(n-1)d\},\\ S_n&=\{a+(n-1)d\}+\cdots+(a+d)+a \end{aligned} \]

두 식을 같은 열끼리 더하면 모든 열의 합이 \(2a+(n-1)d\)로 같습니다.

공식의 유도

같은 합이 \(n\)번

\[ \begin{aligned} 2S_n&=n\{2a+(n-1)d\},\\ S_n&=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{aligned} \]

마지막 항을 \(l=a+(n-1)d\)라 하면 더 간단히 쓸 수 있습니다.

\[S_n=\frac{n(a+l)}{2}\]

탐구: \(1+2+\cdots+n\)을 거꾸로 놓기

아래 수열을 복제해 거꾸로 놓으면 각 세로줄의 합이 모두 \(n+1\)이 됩니다.

등비수열

앞 항에 같은 수를 계속 곱하여 다음 항을 만듭니다.

정의

일정한 배율

등비수열에서는 앞 항에 일정한 수 \(r\)을 곱하여 다음 항을 만듭니다. 이 일정한 수를 공비라고 합니다.

\[a_{n+1}=ra_n\]

첫째항이 \(a\)이고 \(r\ne0\)이면 제\(n\)항은 다음과 같습니다.

\[a_n=ar^{\,n-1}\]
공비가 \(0\)이면 수열은 \(a,0,0,\ldots\)가 됩니다. 이 경우는 둘째항부터 모두 \(0\)이라는 구조를 직접 이해하면 됩니다.
공비에 따른 변화

크기뿐 아니라 부호도 살핀다

공비 \(r\) 항의 변화
\(r>1\)양의 첫째항이면 크기가 커집니다.
\(0<r<1\)절댓값이 작아지며 \(0\)에 가까워집니다.
\(r<0\)항의 부호가 번갈아 나타납니다.
\(r=1\)모든 항이 첫째항과 같습니다.
공비가 음수인 수열을 단순히 ‘증가한다’ 또는 ‘감소한다’고 말할 수 없습니다. 부호의 교대와 절댓값의 변화를 따로 살펴야 합니다.

탐구: 공비를 바꾸면

첫째항이 \(1\)인 등비수열의 처음 8개 항을 비교해 보세요.

등비수열의 합

공비를 한 번 곱하면 항들이 한 칸씩 이동한다는 성질을 이용합니다.

한 칸 이동

\(S_n\)과 \(rS_n\)을 비교하기

첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)인 등비수열의 첫 \(n\)개 항의 합을 \(S_n\)이라 합시다.

\[ \begin{aligned} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1},\\ rS_n&=\phantom{a+{}}ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n \end{aligned} \]

두 식에서 가운데 항들은 서로 지워지고 양 끝의 항만 남습니다.

공식의 유도

\(r=1\)인지 먼저 확인하기

\[ \begin{aligned} S_n-rS_n&=a-ar^n,\\ (1-r)S_n&=a(1-r^n),\\ S_n&=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \end{aligned} \]

단, \(r\ne1\)

\[r=1\text{이면}\qquad S_n=na\]
\(\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)과 \(\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\)은 분자와 분모에 모두 \(-1\)을 곱한 같은 식입니다.

여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의

긴 합은 시그마로 압축하고, 앞 항과의 관계로 다음 항을 결정할 수 있습니다.

합의 기호

\(\sum\)의 아래에서 위까지

\(\sum\)은 지정된 범위에서 식의 값을 차례로 더하라는 뜻입니다.

\[\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n\]
  • \(k\): 합을 진행하는 지표
  • \(1\): 처음 대입하는 값
  • \(n\): 마지막으로 대입하는 값
지표 문자는 바꾸어도 합은 같습니다. 예를 들어 \(\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{j=1}^{n}j\)입니다.
기본 합

자연수의 거듭제곱의 합

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k &=\frac{n(n+1)}{2},\\[4pt] \sum_{k=1}^{n}k^2 &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\\[4pt] \sum_{k=1}^{n}k^3 &=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2} \end{aligned} \]
\[ \sum_{k=1}^{n}(ca_k+db_k) =c\sum_{k=1}^{n}a_k+d\sum_{k=1}^{n}b_k \]

합은 항별로 나눌 수 있고, 항에 곱해진 상수는 합의 기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.

귀납적으로 정의된 수열

시작값과 관계식이 모두 필요하다

다음 피보나치 수열은 앞의 두 항을 더하여 다음 항을 만듭니다.

\[ a_1=1,\quad a_2=1,\qquad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \]

따라서 \(1,1,2,3,5,8,\ldots\)이 차례로 정해집니다.

표현 읽기

일반항을 억지로 찾지 않아도 된다

귀납적 정의는 필요한 항을 앞에서부터 계산하게 합니다. 관계식이 복잡한 수열도 시작값과 관계가 있으면 수열 자체는 분명하게 정해집니다.

관계식만 있고 시작값이 없으면 수열이 하나로 정해지지 않을 수 있습니다. 예를 들어 \(a_{n+1}=a_n+2\)만으로는 첫째항을 알 수 없습니다.

수학적 귀납법

무한히 많은 자연수에 대한 명제를 두 단계의 논리로 증명합니다.

증명의 구조

첫 명제를 확인하고, 다음 명제로 건너간다

자연수 \(n\)에 관한 명제를 \(P(n)\)이라 할 때 다음 두 사실을 보입니다.

① 기초 단계 \(P(1)\)이 참임을 확인한다.
② 귀납 단계 \(P(k)\)가 참이라고 가정하여 \(P(k+1)\)도 참임을 보인다.
기초 단계는 출발점을 만들고, 귀납 단계는 참인 명제를 다음 자연수로 전달합니다. 어느 한 단계라도 빠지면 모든 자연수에서 성립한다는 결론을 얻을 수 없습니다.

예제: 처음 \(n\)개 홀수의 합

모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 등식이 성립함을 증명해 봅시다.

\[1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\]

① 기초 단계

\(n=1\)일 때 좌변과 우변이 모두 \(1\)이므로 \(P(1)\)은 참입니다.

② 귀납 가정

어떤 자연수 \(k\)에 대하여 \(P(k)\)가 참이라고 가정합니다.

\[1+3+\cdots+(2k-1)=k^2\]

③ \(P(k+1)\) 확인

\(P(k)\)의 좌변에 그다음 홀수 \(2(k+1)-1=2k+1\)을 더합니다.

\[ \begin{aligned} 1+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1) &=k^2+(2k+1)\\ &=(k+1)^2 \end{aligned} \]

따라서 \(P(k+1)\)도 참입니다. 두 단계에 의해 모든 자연수 \(n\)에서 등식이 성립합니다.

탐구: 귀납 단계의 수치 확인

\(k\)를 바꾸면서 \(k^2\)에 다음 홀수 \(2k+1\)을 더하면 \((k+1)^2\)이 되는지 확인해 보세요.

귀납 가정 \(P(k)\)는 아직 증명하려는 결론을 미리 참이라고 선언하는 것이 아닙니다. ‘\(P(k)\)가 참이라면 \(P(k+1)\)도 참’이라는 연결을 증명하기 위해 잠시 사용하는 가정입니다.

스스로 확인하기

문제를 먼저 해결한 뒤 정답과 풀이를 펼쳐 확인해 보세요.

1. 첫째항이 \(5\), 공차가 \(-3\)인 등차수열의 제\(8\)항을 구해 보세요.

\(a_8=5+(8-1)(-3)=5-21=-16\)이므로 제\(8\)항은 \(\boxed{-16}\)입니다.

2. 첫째항이 \(3\), 공비가 \(2\)인 등비수열의 첫 \(6\)개 항의 합을 구해 보세요.

\(S_6=\dfrac{3(2^6-1)}{2-1}=3\times63=189\)이므로 답은 \(\boxed{189}\)입니다.

3. \(\displaystyle\sum_{k=2}^{5}(2k-1)\)을 합의 기호 없이 나타내고 값을 구해 보세요.

\(k=2,3,4,5\)를 차례로 대입하면 \(3+5+7+9=24\)이므로 답은 \(\boxed{24}\)입니다.

4. 수학적 귀납법에서 기초 단계만 확인해서는 충분하지 않은 이유를 설명해 보세요.

기초 단계는 첫 명제가 참이라는 사실만 보입니다. 그 참이 다음 자연수의 명제로 계속 전달됨을 보이려면 \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\)인 귀납 단계가 반드시 필요합니다.