수학시간
고등학교 수학 I

문자와 식 · 지수와 로그

지수와 로그의 원리

자연수 지수에서 출발한 거듭제곱을 정수·유리수·실수 지수로 확장하고, 거듭제곱에서 지수를 되찾는 역연산으로 로그를 정의합니다. 중요한 것은 공식을 따로 외우는 것이 아니라 정의가 확장되어도 지수법칙이 일관되게 유지되는 이유를 이해하는 것입니다.

  • 거듭제곱근의 개수와 근호가 나타내는 주값을 구분할 수 있다.
  • 지수를 확장할 때 밑을 양수로 제한하는 이유를 설명할 수 있다.
  • 로그의 성질과 상용로그의 크기 정보를 지수법칙에서 해석할 수 있다.

거듭제곱근: 방정식의 해와 근호의 값

\(x^n=a\)의 실수해 개수와 \(\sqrt[n]{a}\)가 나타내는 하나의 값을 구분합니다.

\(a\)의 \(n\)제곱근

\(n\ge2\)인 정수에 대하여 \(x^n=a\)를 만족하는 수 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 합니다. 이는 방정식의 해 전체를 말하는 표현입니다.

\[ x^n=a \]

근호는 주값 하나를 나타냅니다

\(n\)이 짝수이고 \(a\gt0\)이면 \(n\)제곱근은 \(\pm\sqrt[n]{a}\)의 두 개이지만, 기호 \(\sqrt[n]{a}\) 자체는 그중 음이 아닌 값만 나타냅니다.

\[ x^4=16\Rightarrow x=\pm2, \qquad \sqrt[4]{16}=2 \]

\(n\)이 홀수

\(a\)의 부호와 관계없이 실수인 \(n\)제곱근이 하나 있습니다.

\(\sqrt[3]{-8}=-2\)

\(n\)이 짝수, \(a\gt0\)

양수와 음수인 실수해가 한 개씩 있어 모두 두 개입니다.

\(x^4=16\Rightarrow x=\pm2\)

\(n\)이 짝수, \(a\lt0\)

실수의 짝수 제곱은 음수가 될 수 없으므로 실수해가 없습니다.

\(x^4=-16\Rightarrow\) 실수해 없음

거듭제곱근 그래프 탐구

\(y=x^n\)과 \(y=a\)의 교점을 이용하여 \(x^n=a\)의 실수해 개수를 확인합니다.

\[ x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=-2\text{ 또는 }x=2 \]

짝수 지수이고 \(a\gt0\)이므로 수평선 \(y=4\)는 \(y=x^2\)와 두 점에서 만납니다.

그래프의 교점의 \(x\)좌표가 방정식 \(x^n=a\)의 실수해입니다.

지수의 확장: 같은 법칙을 유지하도록 정의하기

0과 음의 정수, 유리수, 실수 지수는 기존 지수법칙이 계속 성립하도록 정의됩니다.

자연수 지수 같은 수를 반복하여 곱하는 횟수로 시작합니다.
0과 음의 정수 나눗셈에서도 \(a^m/a^n=a^{m-n}\)이 성립하게 정의합니다.
유리수와 실수 거듭제곱근을 이용해 정의하고 연속적인 지수함수로 확장합니다.

지수 \(0\)

\[ \begin{aligned} \frac{a^m}{a^m} &=a^{m-m}\\ &=a^0=1 \end{aligned} \]

단, \(a\ne0\)

\(0^0\)은 이 정의로 정하지 않으며 일반적으로 정의하지 않습니다.

음의 정수 지수

\[ a^{-n}=\frac1{a^n} \]

단, \(a\ne0\)

음의 지수는 수의 부호를 바꾸는 것이 아니라 역수를 나타냅니다.

유리수 지수

\[ a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} \]

단, \(a\gt0,\ n\ge2\)

분모 \(n\)은 거듭제곱근, 분자 \(m\)은 거듭제곱과 연결됩니다.

지수법칙은 정의를 확장하는 기준입니다

법칙 식 주요 조건
같은 밑의 곱 \(a^r a^s=a^{r+s}\) \(a\gt0\)
같은 밑의 나눗셈 \(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\) \(a\gt0\)
거듭제곱의 거듭제곱 \((a^r)^s=a^{rs}\) \(a\gt0\)
곱과 몫의 거듭제곱 \((ab)^r=a^rb^r,\quad\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}\) \(a,b\gt0\)

예제 · 무리수 지수까지 같은 법칙을 사용합니다

\[ \begin{aligned} (2^{\sqrt3})^{\sqrt{12}}\cdot2^{-2} &=2^{\sqrt3\sqrt{12}}\cdot2^{-2}\\ &=2^6\cdot2^{-2}\\ &=2^4=16 \end{aligned} \]

밑 \(2\)가 양수이므로 무리수 지수에서도 지수법칙을 안전하게 적용할 수 있습니다.

로그: 거듭제곱에서 지수를 되찾는 연산

로그는 새로운 계산 기호가 아니라 \(a^x=N\)에서 지수 \(x\)를 나타내는 이름입니다.

\[ a^x=N \]
\[ x=\log_aN \]

기본값

\[ \begin{aligned} \log_a1&=0\\ \log_aa&=1 \end{aligned} \]

\(a^0=1\), \(a^1=a\)에서 바로 얻습니다.

곱과 몫

\[ \begin{aligned} \log_a(MN) &=\log_aM+\log_aN\\ \log_a\left(\frac MN\right) &=\log_aM-\log_aN \end{aligned} \]

\(M,N\gt0\)일 때 성립합니다.

거듭제곱과 밑의 변환

\[ \begin{aligned} \log_a M^r &=r\log_aM\\ \log_aN &=\frac{\log_bN}{\log_ba} \end{aligned} \]

\(b\gt0,\ b\ne1\)인 다른 밑을 사용할 수 있습니다.

진수의 덧셈에는 분배되지 않습니다

\[ \log_a(M+N)\ne\log_aM+\log_aN \]

로그의 덧셈법칙은 지수법칙 \(a^{u+v}=a^ua^v\)에서 나오므로 진수의 곱과 연결됩니다.

로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 이유

\(M=a^u,\ N=a^v\)로 놓으면 \(MN=a^{u+v}\)입니다. 양변에서 밑이 \(a\)인 지수를 읽으면

\[ \log_a(MN)=u+v=\log_aM+\log_aN \]

전자계산기 이전에는 이 성질을 이용한 로그표가 복잡한 계산을 줄이는 데 사용되었습니다.

예제 · 로그의 성질을 적용할 수 있는 모양으로 바꿉니다

\[ \begin{aligned} \log_2 24-\log_2 3+2\log_2\sqrt2 &=\log_2\frac{24}{3}+\log_2(\sqrt2)^2\\ &=\log_2 8+\log_2 2\\ &=3+1=4 \end{aligned} \]

지수식과 로그식 변환기

밑 \(a\)와 지수 \(x\)를 입력하여 \(a^x=N\)과 \(\log_aN=x\)가 같은 관계를 표현함을 확인합니다.

\[ 2^3=8 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2 8=3 \]

두 식은 서로 다른 계산 결과가 아니라 같은 세 수 \(2,3,8\)의 관계를 두 방향으로 읽은 것입니다.

상용로그: 수의 크기와 자릿수를 읽기

밑이 \(10\)인 로그는 수가 어느 \(10\)의 거듭제곱 사이에 있는지를 나타냅니다.

과학적 표기와 상용로그

\(1\le c\lt10\)일 때 \(N=c\times10^n\)으로 나타내면

\[ \log N=n+\log c \]

\(0\le\log c\lt1\)이므로 \(\log N\)의 정수 부분은 \(n\)입니다.

정수 부분과 소수 부분

\[ \log N=k+\alpha, \qquad k\in\mathbb Z,\quad0\le\alpha\lt1 \]

\(k=\lfloor\log N\rfloor\)는 수의 크기 범위를, \(\alpha\)는 그 범위 안에서의 상대적인 위치를 나타냅니다.

\(N\ge1\) · 정수의 자릿수

\[ 10^k\le N\lt10^{k+1} \]

\(N\)이 정수이면 \(k+1\)자리입니다.

\(0\lt N\lt1\) · 첫 유효숫자

\[ 10^{-m}\le N\lt10^{-m+1} \]

소수점 아래 \(m\)번째 자리에서 처음으로 \(0\)이 아닌 숫자가 나타납니다.

음수인 로그값의 분해

\[ -1.3=-2+0.7 \]

소수 부분을 \(0\) 이상 \(1\) 미만으로 정하면 정수 부분은 \(-2\)입니다.

예제 · \(5^{20}\)의 자릿수

\(\log2=0.3010\)을 이용하면

\[ \begin{aligned} \log5^{20} &=20\log5\\ &=20(1-\log2)\\ &=20(1-0.3010)\\ &=13.98 \end{aligned} \]

\(13\lt\log5^{20}\lt14\)이므로 \(10^{13}\lt5^{20}\lt10^{14}\)이고, \(5^{20}\)은 \(14\)자리 정수입니다.

상용로그와 수의 크기 탐구

\(N=c\times10^n\;(1\le c\lt10)\)의 \(c,n\)을 입력하여 상용로그의 정수 부분과 소수 부분, 자릿수 또는 첫 유효숫자의 위치를 확인합니다.

\[ N=5\times10^3=5000,\qquad \log N=3+\log5\approx3.699 \]

상용로그의 정수 부분이 \(3\)이므로 \(N\)은 \(4\)자리 수입니다.

스스로 확인하기

계산 결과보다 정의와 조건을 사용한 이유를 먼저 설명해 보세요.

1. \(x^4=81\)의 실수해와 \(\sqrt[4]{81}\)의 값을 각각 구하세요.

방정식의 실수해는 \(x=\pm3\)입니다. 근호 \(\sqrt[4]{81}\)은 음이 아닌 주값만 나타내므로 \(3\)입니다.

2. \(\sqrt[6]{(-2)^6}\)의 값을 구하세요.

짝수 근호의 값은 음이 아니므로 \(\sqrt[6]{(-2)^6}=|-2|=2\)입니다.

3. \(27^{-2/3}\)을 계산하세요.

\(27^{1/3}=3\)이므로 \(27^{-2/3}=\dfrac1{27^{2/3}}=\dfrac1{3^2}=\dfrac19\)입니다.

4. \(\log_2 16-\log_2 2\)의 값을 구하세요.

\(\log_2(16/2)=\log_2 8=3\)입니다. 로그의 차는 진수의 몫과 연결됩니다.

5. \(\log N=-2.4\)일 때 정수 부분과 소수 부분을 구하세요.

\(-2.4=-3+0.6\)이므로 정수 부분은 \(-3\), 소수 부분은 \(0.6\)입니다.

핵심 정리

  • \(a\)의 \(n\)제곱근은 방정식 \(x^n=a\)의 해 전체이고, \(\sqrt[n]{a}\)는 정해진 주값 하나입니다.
  • 0·음의 정수·유리수 지수는 기존 지수법칙을 유지하도록 정의되며, 유리수와 실수 지수에서는 밑을 양수로 제한합니다.
  • \(a^x=N\)과 \(x=\log_aN\)은 같은 관계를 서로 반대 방향으로 읽은 식입니다.
  • 로그의 곱셈법칙은 지수의 덧셈법칙에서 나오므로 진수의 덧셈에는 적용할 수 없습니다.
  • 상용로그의 정수 부분은 수가 어느 \(10\)의 거듭제곱 사이에 있는지를 알려 주어 자릿수와 첫 유효숫자의 위치를 결정합니다.