수학시간
고등학교 수학

문자와 식 · 부등식의 확장

연립부등식과 이차부등식

하나의 부등식에서 구한 해의 범위를 바탕으로, 여러 조건을 동시에 만족하는 공통부분을 찾는 연립부등식으로 확장합니다. 이어서 절댓값은 거리로, 이차부등식은 함수의 부호와 그래프로 해석합니다. 계산 절차보다 해집합이 어떻게 만들어지는지를 중심으로 살펴봅니다.

  • 연립부등식의 해를 해집합의 교집합과 수직선의 공통부분으로 설명할 수 있다.
  • 끝점 포함 여부에 따라 한 점·공집합·구간이 되는 조건을 판단할 수 있다.
  • 절댓값과 이차부등식의 해를 거리와 함수의 부호로 해석할 수 있다.

연립부등식은 ‘그리고’를 수학으로 나타낸 것

각 부등식의 해를 구한 뒤, 모든 조건을 동시에 만족하는 부분만 남깁니다.

각 부등식을 따로 푼다 음수로 나눌 때 부등호의 방향이 바뀌는 것까지 확인합니다.
해를 수직선에 나타낸다 빈 점과 채운 점으로 끝점 포함 여부를 구분합니다.
공통부분만 남긴다 두 조건을 모두 만족하는 교집합이 연립부등식의 해입니다.

해집합의 교집합

첫째 부등식의 해집합을 \(A\), 둘째 부등식의 해집합을 \(B\)라고 하면 연립부등식의 해집합은 \(A\cap B\)입니다.

\[ \begin{cases} x\gt1\\ x\le4 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad 1\lt x\le4 \]

\(x\gt1\)이면서 동시에 \(x\le4\)여야 하므로 두 범위가 겹치는 부분만 남습니다.

‘그리고’와 ‘또는’을 구분합니다

연립부등식은 두 조건을 모두 만족해야 하므로 그리고이며 교집합을 구합니다. 반면 두 범위 중 하나만 만족하면 되는 경우는 또는이며 합집합을 구합니다.

\[ \begin{aligned} x\lt -2\text{ 또는 }x\gt 3\\ &\Longleftrightarrow (-\infty,-2)\cup(3,\infty) \end{aligned} \]

한 줄로 이어진 부등식도 연립부등식입니다

사이값을 나타내는 꼴

\[ \begin{aligned} a\lt x\le b\\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} x\gt a\\ x\le b \end{cases} \end{aligned} \]

왼쪽 끝점 \(a\)는 포함하지 않고 오른쪽 끝점 \(b\)는 포함합니다.

세 부분을 한꺼번에 계산할 때

\[ \begin{aligned} -2\lt1-3x&\le7\\ -3\lt-3x&\le6\\ 1\gt x&\ge-2\\ -2\le x&\lt1 \end{aligned} \]

음수 \(-3\)으로 나눌 때 두 부등호의 방향을 모두 바꾸고, 마지막에는 작은 수가 왼쪽에 오도록 다시 정리합니다.

연립부등식의 해는 어떤 모양이 되는가?

경계의 순서와 포함 여부를 살피면 구간·반직선·한 점·공집합을 정확히 판단할 수 있습니다.

유한한 구간

아래쪽 경계가 위쪽 경계보다 작으면 두 경계 사이가 해가 됩니다.

\(a\lt x\le b\quad(a\lt b)\)

한쪽으로 이어지는 범위

같은 방향의 조건은 더 강한 조건 하나만 남습니다.

\[ x\gt-2,\ x\ge3 \quad\Rightarrow\quad x\ge3 \]

해가 한 점

두 경계가 같고 양쪽 조건이 모두 그 값을 포함할 때만 한 점이 남습니다.

\[ x\ge2,\ x\le2 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]

해가 없음

아래쪽 경계가 더 크거나, 같은 경계에서 어느 한쪽이라도 끝점을 제외하면 공통부분이 없습니다.

\[ x\gt2,\ x\le2 \quad\Rightarrow\quad\varnothing \]

한 조건이 모든 실수

한 부등식이 항상 참이면 다른 부등식의 해가 그대로 연립부등식의 해가 됩니다.

\[ A\cap\mathbb{R}=A \]

한 조건의 해가 없음

어느 한 부등식도 만족할 수 없다면 동시에 만족하는 값도 없습니다.

\[ A\cap\varnothing=\varnothing \]

매개변수와 해의 존재 조건

연립부등식의 해가 존재하려면 아래쪽 경계가 위쪽 경계보다 앞에 있어야 합니다.

\[ \begin{cases} x\gt k-1\\ x\le3 \end{cases} \] \[ k-1\lt x\le3 \]

실수해가 존재하려면 \(k-1\lt3\), 즉 \(k\lt4\)입니다. \(k=4\)이면 \(x\gt3\)과 \(x\le3\)이 되어 해가 없습니다.

끝점 포함 여부가 조건을 바꿉니다

\[ \begin{cases} x\ge k-1\\ x\le3 \end{cases} \]

이번에는 두 경계를 모두 포함하므로 \(k-1\le3\), 즉 \(k\le4\)이면 해가 존재합니다. \(k=4\)일 때는 구간이 사라지는 것이 아니라 \(x=3\) 한 점이 남습니다.

연립부등식 해집합 탐구

두 조건의 방향과 경계값을 자유롭게 바꾸어 보세요. 각 조건의 해와 교집합을 같은 수직선에 나타내고, 끝점 포함 여부에 따라 구간·한 점·공집합이 되는 과정을 설명합니다.

두 조건을 설정하고 공통 해를 확인하세요.

절댓값 부등식은 거리와 연립부등식으로 읽습니다

기준점에 가까운 범위는 하나의 구간, 멀리 떨어진 범위는 두 구간의 합집합이 됩니다.

거리보다 작다 · 안쪽 구간

\[ \begin{aligned} |x-a|\lt r\\ &\Longleftrightarrow a-r\lt x\lt a+r\quad(r\gt 0) \end{aligned} \]

기준점 \(a\)에서 거리가 \(r\)보다 작은 점은 왼쪽 경계와 오른쪽 경계 사이에 있습니다. 이는 두 조건을 동시에 만족하는 연립부등식입니다.

거리보다 크다 · 바깥 두 구간

\[ \begin{aligned} |x-a|\gt r\\ &\Longleftrightarrow x\lt a-r\text{ 또는 }x\gt a+r\quad(r\gt 0) \end{aligned} \]

기준점에서 충분히 멀리 떨어지려면 왼쪽 바깥 또는 오른쪽 바깥에 있어야 하므로 합집합입니다.

조건 \(r\gt0\) \(r=0\) \(r\lt0\)
\(|x-a|\lt r\) \(a-r\lt x\lt a+r\) 해가 없음 해가 없음
\(|x-a|\le r\) \(a-r\le x\le a+r\) \(x=a\) 해가 없음
\(|x-a|\gt r\) \(x\lt a-r\) 또는 \(x\gt a+r\) \(x\ne a\) 모든 실수
\(|x-a|\ge r\) \(x\le a-r\) 또는 \(x\ge a+r\) 모든 실수 모든 실수

절댓값 부등식 변환기

기준점 \(a\), 거리 \(r\), 부등호를 입력하여 해가 안쪽 구간인지, 바깥 두 구간인지, 한 점인지, 모든 실수 또는 공집합인지 확인합니다.

값을 입력하고 절댓값 부등식의 해를 확인하세요.

이차부등식은 이차식의 부호를 찾는 문제

영이 되는 경계와 포물선의 방향을 이용하여 어느 구간에서 양수·음수인지 판단합니다.

한쪽을 \(0\)으로 정리 \(ax^2+bx+c\)와 \(0\)의 대소 관계로 만듭니다.
영이 되는 값 찾기 인수분해나 근의 공식으로 경계가 되는 근을 구합니다.
구간별 부호 판단 포물선의 방향과 근의 개수로 양수·음수 구간을 결정합니다.

서로 다른 두 실근 \(\alpha\lt\beta\)가 있을 때

\(a\gt0\) · 위로 열린 포물선

\[ \begin{aligned} f(x)\gt0&:\quad x\lt\alpha\text{ 또는 }x\gt\beta\\ f(x)\lt0&:\quad \alpha\lt x\lt\beta \end{aligned} \]

바깥쪽에서는 양수이고 두 근 사이에서는 음수입니다.

\(a\lt0\) · 아래로 열린 포물선

\[ \begin{aligned} f(x)\gt0&:\quad \alpha\lt x\lt\beta\\ f(x)\lt0&:\quad x\lt\alpha\text{ 또는 }x\gt\beta \end{aligned} \]

포물선의 방향이 바뀌므로 양수와 음수인 구간도 서로 바뀝니다.

\(D\gt0\)

두 근이 수직선을 세 구간으로 나누며, 부호는 근을 지날 때마다 바뀝니다.

\(D=0\)

\(f(x)=a(x-\alpha)^2\)이므로 \(\alpha\)에서만 \(0\)이고, 그 밖에서는 항상 \(a\)와 같은 부호입니다.

\(D\lt0\)

실근이 없어 \(0\)을 지나지 않으므로 모든 실수에서 부호가 일정하고, 그 부호는 \(a\)의 부호와 같습니다.

이차부등식 해석기

\(f(x)=ax^2+bx+c\)와 부등호를 입력하면 판별식, 근, 포물선과 수직선의 해 구간을 함께 표시합니다. \(a\lt0\)과 등호가 포함된 경우도 모두 처리합니다.

계수와 부등호를 입력하고 해를 분석하세요.

포물선이 \(x\)축보다 위인지 아래인지와 수직선의 해를 함께 확인합니다.

스스로 확인하기

계산 결과뿐 아니라 교집합·끝점·함수의 부호를 어떻게 판단했는지 설명해 보세요.

1. \(\begin{cases}2x-1\gt3\\3x+2\le14\end{cases}\)을 푸세요.

첫째 부등식은 \(x\gt2\), 둘째 부등식은 \(x\le4\)입니다. 두 해의 공통부분은 \(2\lt x\le4\)입니다.

2. \(\begin{cases}x\ge3\\x\lt3\end{cases}\)의 해를 구하세요.

두 경계는 같지만 \(x\lt3\)이 \(3\)을 포함하지 않으므로 공통부분이 없습니다. 따라서 해집합은 \(\varnothing\)입니다.

3. \(-5\le2x+1\lt7\)을 푸세요.

각 부분에서 \(1\)을 빼면 \(-6\le2x\lt6\)이고, \(2\)로 나누면 \(-3\le x\lt3\)입니다.

4. \(|x-2|\gt3\)을 푸세요.

\(2\)에서의 거리가 \(3\)보다 커야 하므로 \(x\lt-1\) 또는 \(x\gt5\)입니다.

5. \(x^2-5x+6\le0\)을 푸세요.

\((x-2)(x-3)\le0\)이고 최고차항의 계수가 양수이므로 두 근 사이에서 음수입니다. 등호가 있으므로 끝점을 포함하여 \(2\le x\le3\)입니다.

핵심 정리

  • 연립부등식의 해는 각 부등식의 해집합의 교집합이며, 수직선에서는 공통으로 겹치는 부분입니다.
  • 두 경계가 같을 때는 양쪽 조건이 모두 끝점을 포함해야 한 점의 해가 남습니다.
  • 한 조건이 모든 실수이면 다른 조건이 그대로 남고, 한 조건의 해가 없으면 최종 해도 없습니다.
  • 절댓값이 작은 경우는 안쪽의 교집합, 큰 경우는 바깥쪽 두 구간의 합집합입니다.
  • 이차부등식은 근이 수직선을 나눈 구간에서 이차식의 부호를 판단하고, 등호 여부에 따라 근의 포함을 결정합니다.