수학시간
고등학교 수학

문자와 식 · 방정식의 확장

방정식의 구조와 해

기본적인 방정식 풀이와 이차방정식의 해법을 바탕으로, 이제는 해를 직접 계산하는 것보다 해의 존재와 개수, 계수가 담고 있는 정보, 식의 구조에 맞는 변형, 여러 방정식의 교점 관계를 분석합니다. 같은 계산도 어떤 관점에서 바라보느냐에 따라 훨씬 많은 정보를 얻을 수 있습니다.

  • 판별식을 근의 공식과 포물선의 꼭짓점에서 해석할 수 있다.
  • 근과 계수의 관계로 대칭식과 변형된 근의 방정식을 구할 수 있다.
  • 고차·연립이차방정식의 구조를 파악하여 적절한 소거와 치환을 선택할 수 있다.

판별식은 무엇을 판별하는가?

근의 공식 속 근호의 값이 실근의 존재와 포물선의 위치를 동시에 결정합니다.

방정식을 변형 근의 공식을 만들 때 완전제곱식이 나타납니다.
제곱의 값과 비교 실수의 제곱은 음수가 될 수 없습니다.
해의 개수 결정 \(D\)의 부호가 실근의 개수를 판별합니다.

근의 공식에서 보는 판별식

\(a\ne0\)인 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)을 정리하면 다음 관계를 얻습니다.

\[ (2ax+b)^2=b^2-4ac \]

왼쪽은 실수의 제곱이므로 실근이 있으려면 오른쪽도 \(0\) 이상이어야 합니다. 따라서 \[ D=b^2-4ac \] 의 부호가 실근의 존재를 결정합니다.

포물선의 꼭짓점에서 보는 판별식

\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a} \]

꼭짓점은 \[ \left(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right) \] 입니다. \(D\)의 부호는 꼭짓점과 \(x\)축의 상대적 위치를 정하고, 결국 포물선이 \(x\)축과 만나는 횟수를 정합니다.

\(D\gt0\)

서로 다른 두 실근을 가지며 포물선은 \(x\)축과 두 점에서 만납니다.

\(D=0\)

중근을 가지며 포물선은 꼭짓점에서 \(x\)축에 접합니다.

\(D\lt0\)

실근이 없습니다. 복소수 범위에서는 서로 켤레인 두 비실수근을 가집니다.

매개변수가 있는 방정식

판별식은 근을 직접 구하기 어려운 매개변수 문제에서 특히 중요합니다. 예를 들어 \[ x^2-2(k+1)x+k^2-1=0 \] 의 판별식은 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} D &=[-2(k+1)]^2-4(k^2-1)\\ &=8(k+1) \end{aligned} \]

따라서 서로 다른 두 실근을 가지려면 \(k\gt-1\), 중근을 가지려면 \(k=-1\), 실근이 없으려면 \(k\lt-1\)입니다.

판별식과 포물선 탐구

\(y=ax^2+bx+c\)의 계수를 입력하면 판별식, 실근, 꼭짓점과 \(x\)축의 교점 관계를 함께 표시합니다.

계수를 입력하고 분석하세요.

포물선과 \(x\)축의 교점이 방정식의 실근입니다.

근과 계수의 관계: 근을 구하지 않고 계산하기

두 근에 대해 대칭인 식은 합과 곱만으로 정리할 수 있습니다.

계수 비교로 유도하기

\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 하면 왼쪽 다항식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a(x-\alpha)(x-\beta)\\ &=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta \end{aligned} \]

같은 차수의 계수를 비교하면 \[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a} \] 를 얻습니다.

실근이 없어도 관계는 유지됩니다

계수가 실수이고 \(D\lt0\)이면 두 근은 켤레복소수이지만, 인수분해와 계수 비교는 복소수 범위에서도 성립합니다. 따라서 근과 계수의 관계는 실근이 있는 경우에만 사용하는 공식이 아닙니다.

\[ \alpha+\beta=-\frac ba,\qquad \alpha\beta=\frac ca \]

대칭식은 \(S=\alpha+\beta\), \(P=\alpha\beta\)로 정리합니다

제곱의 합 \[ \alpha^2+\beta^2=S^2-2P \]
두 근의 차 \[ (\alpha-\beta)^2=S^2-4P=\frac{D}{a^2} \]
역수의 합 \[ \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac SP \quad(P\ne0) \]
세제곱의 합 \[ \alpha^3+\beta^3=S^3-3PS \]

근을 평행이동한 방정식

원래 두 근이 \(\alpha,\beta\)이고 새 근이 \(\alpha+k,\beta+k\)라면 같은 최고차항 계수를 갖는 방정식은

\[ ax^2+(b-2ak)x+(ak^2-bk+c)=0 \]

입니다. 새 근의 합과 곱을 먼저 구한 뒤 계수로 되돌린 결과입니다.

역수를 근으로 하는 방정식

\(c\ne0\)이면 원래 두 근의 역수 \(\frac1\alpha,\frac1\beta\)를 근으로 하는 방정식은

\[ cx^2+bx+a=0 \]

입니다. 원래 방정식의 최고차항과 상수항의 계수가 서로 바뀝니다.

근과 계수·근의 변환 탐구

방정식의 계수와 이동량 \(k\)를 입력하면 두 근의 합과 곱, 주요 대칭식, \(\alpha+k,\beta+k\)를 근으로 하는 방정식과 역수를 근으로 하는 방정식을 계산합니다.

계수를 입력하고 관계를 확인하세요.

고차방정식: 차수보다 구조를 먼저 본다

인수분해 절차를 반복하기보다 어떤 구조로 차수를 낮출 수 있는지 판단합니다.

인수를 찾아 차수 낮추기

정수근 후보와 인수정리를 이용해 일차인수 하나를 찾은 뒤 남은 낮은 차수의 방정식을 풉니다.

\[ \begin{aligned} x^3-3x^2-4x+12 &=(x-3)(x^2-4)\\ &=(x-3)(x-2)(x+2) \end{aligned} \]

따라서 해는 \(x=3,2,-2\)입니다.

공통부분 치환

같은 식이 반복되면 그 전체를 하나의 문자로 놓아 이차방정식으로 바꿉니다.

\[ \begin{aligned} &(x^2-3x)^2-5(x^2-3x)+4=0\\ &t=x^2-3x \quad\Rightarrow\quad t^2-5t+4=0 \end{aligned} \]

\(t=1\) 또는 \(t=4\)를 다시 \(x^2-3x\)에 대입하여 두 이차방정식의 해를 모두 구합니다.

복이차식

\(x^4,x^2\)와 상수항만 있으면 \(t=x^2\)로 치환합니다. 실수 범위에서는 반드시 \(t\ge0\) 조건을 함께 확인합니다.

\[ \begin{aligned} x^4-5x^2+4&=0\\ t^2-5t+4&=0\\ t&=1\text{ 또는 }4 \end{aligned} \]

따라서 \(x=\pm1,\pm2\)입니다.

대칭형 방정식 · 심화

계수가 앞뒤로 대칭이고 상수항이 \(0\)이 아니면 적절한 거듭제곱으로 나눈 뒤 \(t=x+\frac1x\)를 사용할 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} x^4-3x^3+4x^2-3x+1&=0\\ t=x+\frac1x \quad\Rightarrow\quad t^2-3t+2&=0 \end{aligned} \]

실수 \(x\ne0\)에서는 \(x+\frac1x\le-2\) 또는 \(x+\frac1x\ge2\)라는 범위도 확인해야 합니다.

중근과 중복도

\((x-a)^m\)이 인수이면 \(a\)를 \(m\)중근이라고 합니다. 방정식의 서로 다른 해의 개수와 중복도를 포함한 근의 개수는 구분해야 합니다.

\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]

\(1\)은 이중근이고 \(-2\)는 단순근입니다.

복소수 범위에서의 큰 그림

\(n\)차방정식은 복소수 범위에서 중복도를 포함하여 \(n\)개의 근을 가집니다. 실수 계수 다항식의 비실수근은 켤레쌍으로 나타납니다.

따라서 실수 계수 삼차방정식은 적어도 하나의 실근을 가지며, 나머지 두 근은 모두 실수이거나 서로 켤레인 복소수입니다.

연립이차방정식: 교점과 소거

대입과 소거를 이용하여 두 방정식을 동시에 만족하는 순서쌍을 구합니다.

일차식과 이차식

일차식을 한 문자에 대해 정리하여 이차식에 대입합니다.

\[ \begin{cases} y=x+1\\ x^2+y^2=25 \end{cases} \] \[ 2x^2+2x-24=0 \]

해는 \((3,4),(-4,-3)\)입니다.

두 이차식의 차를 이용

두 식을 더하거나 빼서 제곱항 일부가 없어지는지 확인합니다.

\[ \begin{cases} x^2+y^2=25\\ x^2-y^2=7 \end{cases} \] \[ x^2=16,\qquad y^2=9 \]

부호 조합을 빠뜨리지 않으면 네 개의 순서쌍을 얻습니다.

대칭식으로 바꾸기

\(x+y\)와 \(xy\)가 주어지면 \(x,y\)를 한 이차방정식의 두 근으로 봅니다.

\[ \begin{cases} x+y=5\\ xy=6 \end{cases} \Rightarrow t^2-5t+6=0 \]

\(t=2,3\)이므로 해는 \((2,3),(3,2)\)입니다.

스스로 확인하기

공식을 기억하는지보다 어떤 구조와 조건을 사용했는지 설명해 보세요.

1. \(x^2-2(k+1)x+k^2-1=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖는 \(k\)의 범위를 구하세요.

\(D=8(k+1)\)이므로 서로 다른 두 실근을 가지려면 \(D\gt0\), 즉 \(k\gt-1\)입니다.

2. \(2x^2-3x-1=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 할 때 \(\alpha^2+\beta^2\)를 구하세요.

\(S=\alpha+\beta=\frac32\), \(P=\alpha\beta=-\frac12\)이므로 \[ \alpha^2+\beta^2=S^2-2P =\frac94+1=\frac{13}{4} \] 입니다.

3. \(2x^2-3x-1=0\)의 두 근의 역수를 근으로 하는 이차방정식을 구하세요.

\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근의 역수를 근으로 하는 방정식은 \(cx^2+bx+a=0\)입니다. 따라서 \(-x^2-3x+2=0\), 즉 \(x^2+3x-2=0\)입니다.

4. \(x^4-5x^2+4=0\)을 푸세요.

\(t=x^2\;(t\ge0)\)로 놓으면 \(t^2-5t+4=0\), 즉 \(t=1\) 또는 \(t=4\)입니다. 따라서 \(x=\pm1,\pm2\)입니다.

5. \(\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}\)을 푸세요.

\(y=x+1\)을 대입하면 \(x^2+(x+1)^2=25\), 즉 \(x^2+x-12=0\)입니다. \(x=3,-4\)이고 각각 \(y=4,-3\)이므로 해는 \((3,4),(-4,-3)\)입니다.

핵심 연결

  • 판별식은 근의 공식 속 근호의 값이면서 포물선의 꼭짓점과 \(x\)축의 관계를 나타냅니다.
  • 근과 계수의 관계는 두 근에 대한 대칭식을 근을 직접 구하지 않고 계산하게 합니다.
  • 변형된 근의 방정식은 새 근의 합과 곱을 구한 뒤 계수로 되돌려 만듭니다.
  • 고차방정식은 차수만 보지 말고 반복되는 식, 짝수 차수, 대칭 계수와 인수의 존재를 먼저 살핍니다.
  • 연립이차방정식의 해는 두 곡선의 교점이며, 소거 후 얻은 모든 후보를 순서쌍으로 검산합니다.