수학시간
고등학교 수학 연계

문자와 식 · 다항식의 확장

고차 다항식의 원리

복잡한 공식을 새로 외우는 대신, 이미 알고 있는 분배법칙·나눗셈·대입의 생각이 고차 다항식에서 어떻게 확장되는지 살펴봅니다. 전개, 나눗셈, 나머지정리, 인수분해는 서로 떨어진 기술이 아니라 하나의 구조를 다른 방향에서 보는 방법입니다.

  • 고차 곱셈공식의 계수가 생기는 이유를 분배법칙으로 설명할 수 있다.
  • 조립제법이 다항식 나눗셈을 계수만으로 기록한 것임을 이해할 수 있다.
  • 나머지정리와 인수정리가 대입과 나눗셈 항등식에서 나옴을 설명할 수 있다.

고차 곱셈공식은 어떻게 만들어질까?

모든 항을 한 번씩 곱한다는 분배법칙에서 계수와 항의 모양이 결정됩니다.

괄호를 곱한다 각 괄호에서 한 항씩 선택합니다.
선택한 항을 곱한다 같은 모양의 항이 여러 번 생깁니다.
동류항을 모은다 반복된 횟수가 계수가 됩니다.
공식으로 정리한다 공식은 이 과정을 짧게 기록한 결과입니다.

세 항의 제곱: 대각선과 짝

\((a+b+c)^2\)는 두 괄호의 모든 항을 서로 곱한 결과입니다. \(a^2,b^2,c^2\)는 한 번씩, 서로 다른 두 항의 곱은 순서가 바뀌어 두 번씩 나타납니다.

\[ (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \]

세제곱: 같은 항을 고르는 경우의 수

\((a+b)^3\)에서는 세 괄호에서 \(a\) 또는 \(b\)를 하나씩 고릅니다. \(a^2b\)는 \(b\)를 고를 괄호가 세 곳이므로 세 번 생깁니다.

\[ \begin{aligned} (a+b)^3 &=aaa\\ &\quad +(aab+aba+baa)\\ &\quad +(abb+bab+bba)\\ &\quad +bbb\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned} \]

계수 \(1,3,3,1\)은 외워서 붙인 수가 아니라 같은 모양의 곱이 나타나는 횟수입니다.

세제곱의 합과 차: 가운데 항이 사라지는 구조

첫 번째 괄호의 각 항을 두 번째 괄호 전체에 곱해 세로로 놓으면, 부호가 반대인 두 쌍이 정확히 서로 없어지는 것을 볼 수 있습니다.

합의 경우
\[ \begin{aligned} a(a^2-ab+b^2)&=a^3-a^2b+ab^2\\ b(a^2-ab+b^2)&=a^2b-ab^2+b^3\\ (a+b)(a^2-ab+b^2)&=a^3+b^3 \end{aligned} \]
차의 경우
\[ \begin{aligned} a(a^2+ab+b^2)&=a^3+a^2b+ab^2\\ -b(a^2+ab+b^2)&=-a^2b-ab^2-b^3\\ (a-b)(a^2+ab+b^2)&=a^3-b^3 \end{aligned} \]

가운데 항을 없애도록 이차식의 부호가 정해졌기 때문에 \(a^3+b^3\)과 \(a^3-b^3\)만 남습니다.

일차식 세 개의 곱: 선택한 상수의 개수

세 괄호에서 상수항을 몇 개 선택했는지만 세면 각 차수의 항과 계수를 예측할 수 있습니다.

선택 만들어지는 항
세 곳에서 모두 \(x\) \(x^3\)
상수 하나 \((a+b+c)x^2\)
상수 두 개 \((ab+bc+ca)x\)
상수 세 개 \(abc\)
선택 결과를 차수 순서로 모으면
\[ \begin{aligned} &(x+a)(x+b)(x+c)\\ &\quad=x^3+(a+b+c)x^2\\ &\qquad +(ab+bc+ca)x+abc \end{aligned} \]

공식의 변형은 새로운 공식이 아니라 같은 식의 재배치입니다

세제곱 공식에서 \(3ab(a+b)\)를 옮기면 \(a+b\)와 \(ab\)만 알고도 \(a^3+b^3\)을 계산할 수 있습니다.

\[ \begin{aligned} (a+b)^3&=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{aligned} \]

예를 들어 \(a+b=3,\ ab=2\)이면 \(a^3+b^3=3^3-3\cdot2\cdot3=9\)입니다.

다항식 나눗셈의 구조

자연수 나눗셈의 ‘나누는 수 × 몫 + 나머지’ 구조가 다항식에도 그대로 이어집니다.

자연수의 나눗셈

\[ 17=5\cdot3+2 \]

나머지 \(2\)는 나누는 수 \(5\)보다 작습니다.

다항식의 나눗셈

\[ P(x)=D(x)Q(x)+R(x) \]

나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작습니다. \(x-a\)로 나누면 나머지는 차수가 \(0\)인 상수입니다.

조립제법 단계별 시뮬레이션

\(P(x)\)를 \(x-a\)로 나누는 과정을 한 단계씩 진행합니다. 각 단계에서 현재 계산하는 칸만 강조되므로 ‘내려쓰기 → 곱하기 → 더하기’가 어느 자리에서 반복되는지 확인할 수 있습니다.

계수와 \(a\)를 입력한 뒤 계산 준비를 누르세요.

조립제법 알고리즘이 성립하는 이유

세제곱식 \(P(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\)를 \(x-a\)로 나누고, 몫을 \(Ax^2+px+q\), 나머지를 \(r\)이라고 해 봅시다.

\[ \begin{aligned} P(x) &=(x-a)(Ax^2+px+q)+r\\ &=Ax^3+(p-aA)x^2\\ &\quad +(q-ap)x+(r-aq) \end{aligned} \]

원래 식과 같은 차수의 계수를 비교하면 다음 관계가 나옵니다.

\[ \begin{aligned} p&=B+aA\\ q&=C+ap\\ r&=D+aq \end{aligned} \]
  1. 최고차항의 계수 \(A\)는 그대로 내려옵니다.
  2. \(A\)에 \(a\)를 곱해 \(B\)와 더하면 다음 새 계수 \(p\)가 됩니다.
  3. \(p\)에 \(a\)를 곱해 \(C\)와 더하면 다음 새 계수 \(q\)가 됩니다.
  4. \(q\)에 \(a\)를 곱해 \(D\)와 더한 마지막 값이 나머지 \(r\)입니다.

따라서 조립제법의 ‘내려쓰기 → \(a\)를 곱하기 → 더하기’는 긴 나눗셈을 임의로 줄인 규칙이 아니라 나눗셈 항등식의 계수를 차례로 맞춘 결과입니다.

나머지정리는 왜 성립할까?

다항식 나눗셈의 항등식에 나누는 식을 \(0\)으로 만드는 값을 대입합니다.

한 줄의 대입으로 나머지만 남깁니다

\[ \begin{aligned} P(x)&=(x-a)Q(x)+R\\ P(a)&=(a-a)Q(a)+R\\ P(a)&=R \end{aligned} \]

\(x=a\)를 대입하면 몫이 무엇이든 \((a-a)Q(a)=0\)이 됩니다. 그래서 직접 나눗셈을 하지 않아도 나머지를 \(P(a)\)로 알 수 있습니다.

나머지정리

\(P(x)\)를 \(x-a\)로 나눈 나머지는 \(P(a)\)입니다.

\(R=P(a)\)

인수정리

나머지가 \(0\)이면 나누어떨어지므로 \(x-a\)가 인수입니다. 반대로 \(x-a\)가 인수이면 \(P(a)=0\)입니다.

\[ P(a)=0 \iff x-a\text{는 }P(x)\text{의 인수} \]

계수비교법

항등식의 양변을 전개한 뒤 같은 차수의 계수를 비교합니다. 모든 \(x\)에 대해 항상 같아야 하므로 각 차수의 계수가 같아야 합니다.

수치대입법

\(0,1,-1,a\)처럼 특정 항을 없애거나 식을 단순하게 만드는 값을 선택합니다. 나머지정리는 \(x=a\)를 선택하여 \((x-a)Q(x)\)를 없앤 경우입니다.

0이 되는 값에서 인수가 보인다

고차식을 한 번에 분해하려 하지 않고, 인수 하나를 찾아 차수를 한 단계 낮춥니다.

\(P(a)=0\) 찾기 대입하여 \(0\)이 되는 값을 찾습니다.
인수 확인 인수정리로 \(x-a\)가 인수임을 압니다.
차수 낮추기 조립제법으로 몫을 구합니다.
남은 식 분해 낮아진 차수의 식을 다시 인수분해합니다.

인수 발견 실험

\(P(x)=x^3-4x^2+x+6\)에서 상수항 \(6\)의 약수를 후보로 대입해 보세요. \(P(a)=0\)이 되는 순간 \(x-a\)가 인수로 나타나고, 조립제법으로 남은 이차식을 확인합니다.

후보를 선택하거나 값을 입력하세요.

스스로 확인하기

계산 결과보다 어떤 원리를 사용했는지 먼저 설명해 보세요.

1. \((a+b)^3\)에서 \(a^2b\)의 계수가 \(3\)인 이유를 설명하세요.

세 괄호 \((a+b)(a+b)(a+b)\) 가운데 어느 한 괄호에서 \(b\)를 고르고 나머지 두 괄호에서 \(a\)를 고르는 방법이 세 가지이기 때문입니다.

2. \(x^3-2x^2+4\)의 조립제법 계수를 \(1,-2,4\)로 쓰면 안 되는 이유는 무엇인가요?

\(x\)항의 계수 \(0\)을 생략하면 \(4\)가 \(x\)항의 계수처럼 취급되어 \(x^3-2x^2+4x\)라는 다른 다항식을 계산하게 됩니다. 올바른 계수는 \(1,-2,0,4\)입니다.

3. \(P(x)=(x-3)Q(x)+5\)일 때 \(P(3)\)을 구하고 이유를 설명하세요.

\(x=3\)을 대입하면 \((3-3)Q(3)=0\)이므로 \(P(3)=5\)입니다. 이것이 나머지정리의 핵심 원리입니다.

4. \(P(-1)=0\)이면 \(P(x)\)가 어떤 일차식을 인수로 갖나요?

\(a=-1\)이므로 \(x-a=x-(-1)=x+1\)입니다. 인수정리에 따라 \(x+1\)이 \(P(x)\)의 인수입니다.

핵심 연결

  • 곱셈공식의 계수는 분배법칙에서 같은 모양의 항이 생기는 횟수입니다.
  • 다항식 나눗셈은 \(P=DQ+R\)의 구조이며, 조립제법은 그 계산을 계수만으로 압축한 것입니다.
  • \(x-a\)로 나눈 식에 \(x=a\)를 대입하면 몫 부분이 \(0\)이 되어 나머지 \(P(a)\)만 남습니다.
  • \(P(a)=0\)이면 \(x-a\)가 인수이므로 고차식의 차수를 한 단계 낮출 수 있습니다.
  • 전개와 인수분해, 나눗셈과 대입은 서로 다른 기술이 아니라 같은 다항식 구조를 바라보는 서로 다른 방향입니다.