수학시간

문자와 식 · 방정식

이차방정식

모든 항을 한쪽으로 옮겼을 때 이차식이 남는 방정식입니다. 식의 모양에 따라 인수분해, 제곱근, 근의 공식을 선택하고, 해와 포물선의 교점을 연결하여 근의 개수를 이해합니다.

  • 이차방정식과 근의 뜻을 설명하고 식을 일반형으로 정리할 수 있다.
  • 식의 모양에 따라 알맞은 풀이 방법을 선택할 수 있다.
  • 고등학교 연계 내용인 판별식과 그래프의 관계를 살펴볼 수 있다.

이차방정식의 뜻과 근

양변을 정리한 뒤 이차항의 계수가 남는지 확인합니다.

일반형

모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리했을 때 다음 꼴이 되는 방정식입니다.

\( ax^2+bx+c=0 \)

여기서 \(a,b,c\)는 상수이고 \(a\ne0\)입니다. \(b\)나 \(c\)는 \(0\)일 수 있습니다.

해 또는 근

이차방정식을 참이 되게 하는 \(x\)의 값을 해 또는 근이라고 합니다.

\[ x^2-3x+2=0 \] \[ x=1\quad\text{또는}\quad x=2 \]

두 값을 원래 식에 대입하면 각각 좌변이 \(0\)이 됩니다.

이차방정식인 예

\[ x^2-5x+6=0 \] \[ 2x^2=3x\;\Rightarrow\;2x^2-3x=0 \]

정리한 뒤에도 \(x^2\)항의 계수가 \(0\)이 아닙니다.

이차방정식이 아닌 예

\[ 2x+1=0 \] \[ x^2+x=x^2+3\;\Rightarrow\;x-3=0 \]

처음에 \(x^2\)이 보여도 정리한 뒤 사라지면 일차방정식입니다.

이차방정식을 푸는 세 가지 방법

간단한 방법부터 살펴보고, 필요한 경우 근의 공식을 사용합니다.

인수분해 좌변을 두 일차식의 곱으로 쉽게 나타낼 수 있을 때
제곱근·완전제곱식 \(x^2=k\) 또는 \((x-p)^2=q\) 꼴로 만들기 쉬울 때
근의 공식 인수분해가 어렵거나 일반적인 계수의 식을 풀 때
방법 1 · 인수분해

곱이 \(0\)인 성질 이용

\( AB=0\;\Longleftrightarrow\;A=0\text{ 또는 }B=0 \)
\[ \begin{aligned} x^2-3x+2&=0\\ (x-1)(x-2)&=0\\ x&=1\quad\text{또는}\quad x=2 \end{aligned} \]
방법 2 · 제곱근

완전제곱식으로 바꾸기

\( (x-p)^2=q\;\Rightarrow\;x=p\pm\sqrt q \)
\[ \begin{aligned} x^2+4x+1&=0\\ x^2+4x&=-1\\ x^2+4x+4&=3\\ (x+2)^2&=3\\ x&=-2\pm\sqrt3 \end{aligned} \]

방법 3 · 근의 공식

\(ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)\)의 근은 다음과 같습니다.

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

근의 공식은 완전제곱식 만들기에서 나옵니다

분모의 절댓값 문제를 피하고 계산을 간단히 하기 위해 원래 식에 \(4a\)를 곱해 정리합니다.

\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c&=0\\ 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\ 4a^2x^2+4abx+b^2&=b^2-4ac\\ (2ax+b)^2&=b^2-4ac\\ 2ax+b&=\pm\sqrt{b^2-4ac}\\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} \]
고등학교 수학 연계

판별식과 실근의 개수

근호 안의 값은 포물선과 \(x\)축이 만나는 횟수를 결정합니다.

판별식

\( D=b^2-4ac \)

\(D\gt0\)

서로 다른 두 실근을 가지며 포물선이 \(x\)축과 두 점에서 만납니다.

\(D=0\)

하나의 중근을 가지며 포물선이 \(x\)축에 한 점에서 접합니다.

\(D\lt0\)

실근이 없으며 포물선은 \(x\)축과 만나지 않습니다.

고등학교 수학 연계

근의 공식 계산과 포물선 그래프

근의 공식 계산 결과를 포물선과 \(x\)축의 교점으로 연결하여 살펴보는 고등학교 연계 활동입니다.

고등학교 수학 연계

근의 공식 계산기

\(ax^2+bx+c=0\)의 계수를 입력하면 근의 공식으로 해를 계산합니다. 판별식과 포물선 그래프의 관계는 고등학교 수학 연계 내용이며, 음수 계수는 계산 과정에서 괄호로 표시합니다.

\( x^2-3x+2=0 \)
계수를 입력하고 해와 그래프를 확인하세요.
고등학교 수학 연계

포물선 그래프와 실근의 관계

고등학교 수학 연계: 방정식의 실근은 포물선 \(y=ax^2+bx+c\)와 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표로 해석할 수 있습니다.

황금비 탐구와 스스로 확인하기

비례 관계에서 이차방정식이 만들어지는 과정을 살펴봅니다.

황금비의 수학적 정의

긴 부분을 \(a\), 짧은 부분을 \(b\)라고 할 때 다음 두 비가 같으면 그 공통값을 황금비 \(\varphi\)라고 합니다.

\[ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\varphi \]

비율만 중요하므로 \(b=1\), \(a=x\)로 두면 다음 이차방정식이 만들어집니다.

\[ \begin{aligned} \frac{x+1}{x}&=x\\ x^2-x-1&=0\\ x&=\frac{1\pm\sqrt5}{2} \end{aligned} \]

길이의 비는 양수이므로 양수인 근만 선택하여 \(\displaystyle\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618034\)입니다.

황금비가 만족하는 식

\[ \varphi^2=\varphi+1 \] \[ \frac1\varphi=\varphi-1 \]

피보나치 수의 연속한 항의 비

항이 커질수록 다음 비들은 황금비에 가까워집니다.

\(1/1\) \(2/1\) \(3/2\) \(5/3\) \(8/5\) \(13/8\)

읽을거리 · 알콰리즈미와 완전제곱식

알콰리즈미는 대수학의 역사에서 중요한 수학자이며, 이차방정식을 도형의 넓이를 이용해 설명했습니다. 예를 들어 \(x^2+10x=39\)에서 양변에 \(25\)를 더하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} x^2+10x+25&=64\\ (x+5)^2&=64 \end{aligned} \]

현대적으로는 \(x=3\) 또는 \(x=-13\)을 얻습니다. 길이를 다루는 기하학적 문제에서는 양수인 값 \(x=3\)을 선택합니다.

알콰리즈미 황금비

스스로 확인하기

1. \(x^2+2x=x^2+7\)은 이차방정식인지 판단하고 푸세요.

양변에서 \(x^2\)을 빼면 \(2x=7\)입니다. 정리한 뒤 이차항이 사라지므로 이차방정식이 아니며 \(x=\frac72\)입니다.

2. \(x^2-7x+12=0\)을 인수분해하여 푸세요.

\((x-3)(x-4)=0\)이므로 \(x=3\) 또는 \(x=4\)입니다.

3. \(x^2-6x+5=0\)을 완전제곱식으로 바꾸어 푸세요.

\(x^2-6x=-5\)의 양변에 \(9\)를 더하면 \((x-3)^2=4\)입니다. 따라서 \(x-3=\pm2\)이므로 \(x=1\) 또는 \(x=5\)입니다.

4. [고등학교 연계] \(2x^2+3x+5=0\)의 실근의 개수를 판별하세요.

\(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\lt0\)이므로 실근이 없습니다.

핵심 정리

  • 모든 항을 한쪽으로 옮겨 \(ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)\) 꼴로 정리합니다.
  • 인수분해가 쉬우면 인수분해를, 완전제곱식이 쉬우면 제곱근을 이용합니다.
  • 근의 공식은 완전제곱식 만들기를 일반화한 공식입니다.
  • 고등학교 연계 내용인 판별식 \(D=b^2-4ac\)의 부호는 서로 다른 두 실근·중근·실근 없음의 경우를 구분합니다.
  • 실근은 포물선 \(y=ax^2+bx+c\)와 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표입니다.