수학시간

문자와 식 · 방정식

연립일차방정식

미지수가 두 개인 두 일차방정식을 동시에 만족하는 순서쌍을 찾습니다. 대입법과 가감법은 한 미지수를 없애 일차방정식 하나로 바꾸는 방법이며, 구한 해는 반드시 두 식에 모두 대입하여 확인합니다.

  • 미지수가 두 개인 일차방정식과 그 해의 뜻을 설명할 수 있다.
  • 대입법과 가감법을 알맞게 선택하여 연립방정식을 풀 수 있다.
  • 문장 속 두 조건을 연립방정식으로 나타내어 해결할 수 있다.

미지수가 두 개인 일차방정식과 연립방정식

하나의 식은 여러 순서쌍을 해로 가지며, 연립방정식은 공통인 해를 찾습니다.

미지수가 두 개인 일차방정식

\( x,y \)에 대한 차수가 모두 \(1\) 이하인 방정식으로, 보통 다음과 같이 나타냅니다.

\( ax+by=c \)

단, \(a,b\)가 동시에 \(0\)은 아닙니다. \(a=0\) 또는 \(b=0\)인 경우는 허용됩니다.

해는 순서쌍입니다

방정식을 참으로 만드는 \(x,y\)의 값을 순서쌍 \((x,y)\)로 나타냅니다.

\[ 2x+y=5 \] \[ (0,5),\ (1,3),\ (2,1),\dots \]

실수 범위에서는 일반적으로 해가 무수히 많고, 좌표평면에서 하나의 직선을 이룹니다.

연립일차방정식

미지수가 두 개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶은 것입니다.

\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x-y=-1 \end{cases} \]

연립방정식의 해

두 방정식을 동시에 참으로 만드는 순서쌍입니다.

\[ (x,y)=(1,3) \]

첫째 식: \(1+3=4\), 둘째 식: \(2\cdot1-3=-1\)이므로 두 식을 모두 만족합니다.

대입법과 가감법

두 방법 모두 한 미지수를 없애 일차방정식 하나로 만드는 과정입니다.

방법 1 · 대입법

한 문자를 다른 식으로 바꾸어 넣기

\(x=\cdots\) 또는 \(y=\cdots\) 꼴로 쉽게 정리된 식이 있을 때 편리합니다.

\[ \begin{cases} y=x+1 \quad\cdots\text{㉠}\\ x+y=5 \quad\cdots\text{㉡} \end{cases} \] \[ \begin{aligned} x+(x+1)&=5\\ 2x&=4\\ x&=2,\qquad y=3 \end{aligned} \]
  1. ㉠의 \(y=x+1\)을 ㉡의 \(y\) 대신 넣습니다.
  2. \(x\)에 대한 일차방정식을 풉니다.
  3. 구한 \(x\)를 ㉠에 대입하여 \(y\)를 구합니다.
방법 2 · 가감법

두 식을 더하거나 빼서 한 문자 없애기

같은 문자의 계수가 같거나 반대가 되도록 만들기 쉬울 때 편리합니다.

\[ \begin{cases} x+y=2 \quad\cdots\text{㉠}\\ x-y=4 \quad\cdots\text{㉡} \end{cases} \] \[ \begin{aligned} \text{㉠}+\text{㉡}:\quad 2x&=6\\ x&=3\\ y&=-1 \end{aligned} \]
  1. \(y\)의 계수가 \(1,-1\)이므로 두 식을 더합니다.
  2. \(y\)가 소거된 일차방정식에서 \(x\)를 구합니다.
  3. 구한 \(x\)를 원래 식에 대입하여 \(y\)를 구합니다.

어떤 방법을 선택할까요?

대입법이 편한 경우 한 식이 이미 \(x=2y-1\), \(y=x+3\)처럼 한 문자에 대해 정리되어 있을 때
가감법이 편한 경우 같은 문자의 계수를 간단한 곱셈으로 같게 만들 수 있을 때
검산은 두 식에 모두 해야 합니다 한 식에만 대입하여 참이 되는 것은 연립방정식의 해라는 충분한 확인이 아닙니다. 구한 순서쌍을 두 식에 각각 대입하여 두 등식이 모두 성립하는지 확인합니다.

심화 · \(A=B=C\) 꼴

세 식이 모두 같다는 뜻이므로 독립된 두 등식을 골라 연립방정식으로 만듭니다. 계산이 간단한 조합을 선택하면 됩니다.

\[ A=B=C \] \[ \begin{cases} A=B\\ B=C \end{cases} \quad\text{또는}\quad \begin{cases} A=B\\ A=C \end{cases} \]

해의 개수와 두 직선의 관계

각 방정식을 직선으로 보면 공통인 해는 두 직선의 교점입니다.

해가 하나

두 직선이 한 점에서 만나면 그 교점의 좌표가 유일한 해입니다.

서로 다른 기울기

해가 없음

두 직선이 서로 평행하고 일치하지 않으면 공통인 점이 없습니다.

같은 기울기 · 다른 절편

해가 무수히 많음

두 방정식이 같은 직선을 나타내면 그 직선 위의 모든 점이 해입니다.

한 식이 다른 식의 배수

연립방정식 계산과 그래프

두 식의 계수를 입력하여 해의 개수와 교점 관계를 함께 확인합니다.

연립방정식 확인기

두 식을 \(ax+by=c\) 꼴로 입력하세요. 유일한 해가 있으면 두 식에 대입한 검산도 표시합니다.

x + y =
x + y =
계수를 입력하고 해와 그래프를 확인하세요.

그래프는 두 식의 관계를 이해하기 위한 좌표평면입니다.

연립방정식의 활용과 스스로 확인하기

문장 속 서로 다른 두 조건을 식으로 나타내고 해가 조건에 맞는지 확인합니다.

가격 문제

\(300\)원짜리 연필과 \(500\)원짜리 볼펜을 합하여 \(10\)자루 사고 \(3600\)원을 냈습니다. 각각 몇 자루 샀을까요?

\[ \begin{cases} x+y=10\\ 300x+500y=3600 \end{cases} \]

가감법으로 해결

\[ \begin{aligned} 300x+300y&=3000\\ 300x+500y&=3600\\ 200y&=600\\ y&=3,\qquad x=7 \end{aligned} \]

연필 \(7\)자루와 볼펜 \(3\)자루이며, 개수와 가격 조건을 모두 만족합니다.

문장제를 해결하는 네 단계
  1. 미지수 정하기
    서로 관련된 두 양을 \(x,y\)로 정하고 단위를 씁니다.
  2. 두 식 세우기
    문장에 주어진 서로 다른 두 조건을 각각 등식으로 나타냅니다.
  3. 연립방정식 풀기
    대입법이나 가감법으로 순서쌍을 구합니다.
  4. 조건에 맞게 확인하기
    자연수·정수·단위 조건과 두 원래 조건을 모두 확인합니다.
1. \(\begin{cases} x+y=7\\x-y=1 \end{cases}\)을 푸세요.

두 식을 더하면 \(2x=8\)이므로 \(x=4\)입니다. \(x+y=7\)에 대입하면 \(y=3\)이므로 해는 \((4,3)\)입니다.

2. \(\begin{cases} y=2x-1\\3x+y=9 \end{cases}\)을 대입법으로 푸세요.

\(3x+(2x-1)=9\)에서 \(5x=10\), \(x=2\)입니다. 따라서 \(y=2\cdot2-1=3\)이고 해는 \((2,3)\)입니다.

3. \(\begin{cases} x+2y=3\\2x+4y=8 \end{cases}\)의 해의 개수를 말하세요.

첫째 식에 \(2\)를 곱하면 \(2x+4y=6\)이지만 둘째 식은 \(2x+4y=8\)입니다. 같은 좌변이 서로 다른 수와 같을 수 없으므로 해가 없습니다.

4. \(\begin{cases} x-3y=2\\2x-6y=4 \end{cases}\)의 해의 개수를 말하세요.

둘째 식은 첫째 식에 \(2\)를 곱한 식입니다. 두 식이 같은 직선을 나타내므로 해는 무수히 많습니다.

핵심 정리

  • 미지수가 두 개인 일차방정식의 해는 순서쌍이며, 좌표평면에서 직선 위의 점입니다.
  • 연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 만족하는 공통 순서쌍입니다.
  • 대입법과 가감법은 한 미지수를 소거하여 일차방정식 하나로 바꾸는 방법입니다.
  • 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 일치하며 해의 개수는 각각 하나·없음·무수히 많음입니다.
  • 구한 해는 두 원래 식과 문제의 조건에 모두 맞는지 확인합니다.