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문자와 식 · 부등식

일차부등식

부등식은 두 수나 식의 크기를 비교하는 식입니다. 해가 하나인 방정식과 달리 부등식의 해는 보통 일정한 범위이며, 경계값의 포함 여부와 수직선의 방향을 함께 판단해야 합니다.

  • 초과·이상·미만·이하를 부등식으로 정확히 나타낼 수 있다.
  • 부등식의 성질을 이용해 일차부등식을 풀 수 있다.
  • 해를 수직선과 문장으로 나타내고 조건에 맞게 해석할 수 있다.

부등식의 뜻과 해

부등호로 대소 관계를 나타내고, 부등식을 참으로 만드는 값의 범위를 찾습니다.

부등식

부등호 \( \gt ,\lt ,\ge,\le \)를 사용하여 두 수나 식의 대소 관계를 나타낸 식입니다.

\( 2x-1\lt 5 \)

부등식의 해

미지수에 대입했을 때 부등식을 참이 되게 하는 값입니다.

\( x+1\gt 2\Rightarrow x\gt 1 \)

\( 2,3,4,\dots \)뿐 아니라 \( 1.5,\pi \) 등 \( 1 \)보다 큰 모든 수가 해입니다.

말을 부등식으로 바꾸기

\( a \) 초과
\( a \)보다 크고 \( a \)는 포함하지 않습니다.
\( x\gt a \)
\( a \) 이상
\( a \)보다 크거나 같아 \( a \)를 포함합니다.
\( x\ge a \)
\( a \) 미만
\( a \)보다 작고 \( a \)는 포함하지 않습니다.
\( x\lt a \)
\( a \) 이하
\( a \)보다 작거나 같아 \( a \)를 포함합니다.
\( x\le a \)

부등식의 성질

같은 수를 더하고 빼는 경우, 양수와 음수를 곱하고 나누는 경우를 구분합니다.

같은 수를 더하거나 빼기

부등호의 방향은 그대로입니다.

\[ a\lt b\Rightarrow a+c\lt b+c \] \[ a\lt b\Rightarrow a-c\lt b-c \]

같은 양수를 곱하거나 나누기

부등호의 방향은 그대로입니다.

\[ a\lt b,\ c\gt 0\Rightarrow ac\lt bc \] \[ a\lt b,\ c\gt 0\Rightarrow \frac ac\lt \frac bc \]

같은 음수를 곱하거나 나누기

부등호의 방향이 반대로 바뀝니다.

\[ a\lt b,\ c\lt 0\Rightarrow ac\gt bc \] \[ a\lt b,\ c\lt 0\Rightarrow \frac ac\gt \frac bc \]
처음 관계
\( 2\lt 4 \)
0을 기준으로 뒤집힌 관계
\( -2\gt -4 \)

부등호 변화 실험

현재 부등식의 양변에 같은 연산을 적용하세요. 음수를 곱할 때 두 수의 순서와 부등호가 함께 어떻게 변하는지 확인할 수 있습니다.

\( 2\lt 4 \)
연산을 선택해 보세요.

해를 수직선에 나타내기

경계값을 포함하는지와 해가 뻗는 방향을 구분합니다.

수직선 표현기

경계값과 부등호를 선택하면 빈 점 또는 채운 점과 해의 방향이 표시됩니다.

\( x\gt 2 \)
\( 2 \)는 포함하지 않으므로 빈 점, 큰 수이므로 오른쪽을 나타냅니다.
\( x\gt a \) 빈 점 · 오른쪽
\( x\ge a \) 채운 점 · 오른쪽
\( x\lt a \) 빈 점 · 왼쪽
\( x\le a \) 채운 점 · 왼쪽

일차부등식의 풀이와 활용

식을 정리한 뒤 마지막에 나누는 수의 부호를 확인합니다.

일차부등식의 뜻

모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리했을 때 다음 네 가지 꼴 가운데 하나가 되는 부등식입니다.

\[ \begin{aligned} ax+b&\gt 0,\qquad ax+b\lt 0\\ ax+b&\ge 0,\qquad ax+b\le 0 \end{aligned} \]

단, \( a\ne0 \)입니다.

마지막 확인

\( ax\gt b \)에서 양변을 \( a \)로 나눌 때는 \(a\)의 부호를 먼저 확인합니다.

\[ \begin{aligned} a\gt0&:\quad x\gt\frac{b}{a}\\ a\lt0&:\quad x\lt\frac{b}{a} \end{aligned} \]

양수로 나누면 방향이 그대로이고, 음수로 나누면 방향이 반대로 바뀝니다.

복잡한 일차부등식을 푸는 순서

  1. 분수와 소수 정리
    분모의 최소공배수나 \( 10,100,\dots \)을 양변에 곱합니다. 이때 곱하는 수는 양수로 고르면 부등호 방향을 유지할 수 있습니다.
  2. 괄호 풀기
    분배법칙을 적용하고 괄호 앞의 부호를 확인합니다.
  3. 동류항 정리와 이항
    \( x \)항은 한쪽에, 상수항은 다른 쪽에 모읍니다.
  4. \( x \)의 계수로 나누기
    나누는 수가 음수라면 부등호 방향을 반드시 바꿉니다.
  5. 해석하기
    해를 부등식, 수직선, 문장 가운데 문제에 알맞은 형태로 나타냅니다.

예제 1 · 음수로 나누는 경우

\[ \begin{aligned} 3x+1&\ge4(x+1)\\ 3x+1&\ge4x+4\\ -x&\ge3\\ x&\le-3 \end{aligned} \]

마지막 줄에서 양변을 \( -1 \)로 나누었으므로 \( \ge \)가 \( \le \)로 바뀝니다.

예제 2 · 분수가 있는 부등식

\[ \begin{aligned} \frac{x-1}{3}-\frac{x+2}{2}&\lt 1\\ 2(x-1)-3(x+2)&\lt 6\\ -x-8&\lt 6\\ -x&\lt 14\\ x&\gt -14 \end{aligned} \]

양변에 양수 \( 6 \)을 곱했으므로 처음에는 부등호 방향이 그대로입니다.

예제 3 · 소수가 있는 부등식

\[ \begin{aligned} 0.4x-1.2&\le0.1x+0.6\\ 4x-12&\le x+6\\ 3x&\le18\\ x&\le6 \end{aligned} \]

양변에 \( 10 \)을 곱하여 소수를 정수로 바꾸었습니다.

정리 결과에 따른 해

일정한 범위가 해

\( 2x\lt 6\Rightarrow x\lt 3 \)처럼 경계값 한쪽의 모든 수가 해입니다.

해가 없음

\( 2(x+1)\gt 2x+3\Rightarrow2\gt 3 \)처럼 거짓인 부등식이 나오면 해가 없습니다.

모든 수가 해

\( 2(x+1)\le2x+3\Rightarrow2\le3 \)처럼 항상 참이면 모든 수가 해입니다.

문장제에서 정수 조건까지 해석하기

문제

체험 시설의 기본 입장료는 \( 6000 \)원이고, 체험 한 번에 \( 3000 \)원이 듭니다. 총비용을 \( 30000 \)원 이하로 하려면 체험을 최대 몇 번 할 수 있을까요?

부등식과 해석

\[ \begin{aligned} 6000+3000x&\le30000\\ 3000x&\le24000\\ x&\le8 \end{aligned} \]

체험 횟수 \( x \)는 음이 아닌 정수이므로 최대 \( 8 \)번입니다. 부등식의 해를 문제의 조건에 맞게 다시 해석해야 합니다.

스스로 확인하기

부등호 방향과 경계값 포함 여부를 확인한 뒤 답을 열어 보세요.

1. \( 4x-5\lt 11 \)을 푸세요.

\( 4x\lt 16 \)이므로 \( x\lt 4 \)입니다. \( 4 \)는 포함하지 않으므로 수직선에서는 빈 점과 왼쪽 방향으로 나타냅니다.

2. \( -3x+2\ge11 \)을 푸세요.

\( -3x\ge9 \)에서 양변을 \( -3 \)으로 나누면 부등호가 바뀌어 \( x\le-3 \)입니다.

3. \( 2(x-1)\gt 2x+3 \)의 해를 말하세요.

전개하면 \( 2x-2\gt 2x+3 \), 즉 \( -2\gt 3 \)이라는 거짓인 부등식이 나옵니다. 따라서 해가 없습니다.

4. \( 2(x+1)\le2x+3 \)의 해를 말하세요.

전개하면 \( 2x+2\le2x+3 \), 즉 \( 2\le3 \)으로 항상 참입니다. 따라서 모든 수가 해입니다.

핵심 정리

  • 초과·미만은 경계값을 포함하지 않고, 이상·이하는 경계값을 포함합니다.
  • 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼면 부등호 방향이 유지됩니다.
  • 양수를 곱하거나 나누면 방향이 유지되고, 음수를 곱하거나 나누면 방향이 반대로 바뀝니다.
  • 수직선에서는 경계값 포함 여부를 점으로, 크고 작은 방향을 화살표로 나타냅니다.
  • 문장제에서는 실수 범위의 해를 구한 뒤 정수, 자연수, 단위 등의 조건을 반영합니다.